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Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. (German) JFM 50.0125.01
Der bekannte in der Formel \[ \left| \alpha-\frac pq \right| < \frac{1}{\sqrt 5 q^2} \] enthaltene Satz über die Approximation jeder irrationalen Zahl \(\alpha\) durch rationale Brüche läßt sich bedeutend verschärfen, wenn man nicht alle irrationalen Zahlen \(\alpha\) ins Auge faßt, sondern nur fast alle (im Legesgueschen Sinn). So beweist Verf. den Satz: “Ist \(f(x)\) eine positive stetige Funktion von \(x(>0)\) und ist \(xf(x)\) monoton abnehmend, so hat die Ungleichung \[ \left| \alpha - \frac pq \right| < \frac{f(q)}{q}, \] falls \(\int^\infty f(x)dx\) divergiert, für fast alle irrationale \(\alpha\) eine unendliche Anzahl ganzzahliger Lösungen \(p, q\). Falls dagegen \(\int^\infty f(x)dx\) konvergiert, hat sie für fast alle irrationalen \(\alpha\) nur endlich viele solche Lösungen.”
Einige weitere Sätze, die ebenfalls für fast alle irrationalen \(\alpha\) gelten gebe Größenabschätzungen für die Teilnenner der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von \(\alpha\).

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References:
[1] Siehe z. B. F. Bernstein, Math. Ann.71 (1912), S. 417. · JFM 42.1007.01
[2] Vgl. z. B. Hurwitz, Math. Ann.39 (1891), S. 279-284. · JFM 23.0222.02
[3] l. c.??. · JFM 42.1007.01
[4] Bulletin de l’Institut Polytechnique à Jvanowo-Wosniessensk Nr. 5, Janvier 1922, p. 27-41. Vgl. auch meine während des Druckes erschienene Abhandlung ?Ein Satz über Kettenbrüche usw.?, Mathematische Zeitschrift18 (1923), S. 289-306.
[5] Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität1 (1921), Heft 1, S. 77-98.
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