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Concerning sets of segments which cover a point set in the Vitali sense. (English) JFM 50.0131.01

Nach Splawa-Neyman (Fund. math. 5, 328) gibt es zu jeder linearen abgeschlossenen beschränkten Punktmenge \(K\) vom Maße Null und jeder Intervallmenge \(G\), die \(K\) im Vitalischen Sinne bedeckt (d. h., so daßzu jedem \(\varrho>0\) und jedem Punkt \(P\) aus \(K\) ein \(P\) enthaltendes Segment \(<\varrho\) in \(G\) existiert) eine \(K\) überdeckende Teilmenge \(G_\varepsilon\) von \(G\) mit einer Längensumme \(<\varepsilon\). In Beantwortung einer von Sierpiński aufgeworfenen Frage wird durch ein Beispiel gezeigt, daßin diesem Satz die Bedingung, \(K\) sei abgeschlossen, nicht weggelassen werden darf. Ferner wird gezeigt: Eine lineare Punktmenge \(K\) werde von einer Intervallmenge \(G\) im Vitalischen Sinne überdeckt und es sei entweder a) \(K\) vom Maße Null und zu jedem \(\varrho>0\) in \(G\) nur endliche Anzahl von Intervallen \(>\varrho\) vorhanden, oder b) \(K\) abzählbar; dann enthält \(G\) für jedes \(\varepsilon > 0\) eine \(K\) überdeckende Teilmenge \(G_\varepsilon\) mit einer Längensumme \(<\varepsilon\), und zwar so, daß\(G_\varepsilon\) aus einer abzählbaren Menge punktfremder Ketten von einander dachziegelartig überdeckenden Intervallen besteht.