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Concerning the sum of a countable number of mutually exclusive continua in the plane. (English) JFM 50.0137.04

Fund. math. 6, 189-202 (1924).
Sierpiński [Tôhoku Math. Journ. 13, 300-303; F. d. M. 46, 299 (JFM 46.0299.*) 1918] hat bewiesen, daßein beschränktes Kontinuum eines \(R_m\) [das definitionsgemäßsich nicht in zwei oder endlich viele elementenfremde, abgeschlossene Teilmengen zerlegen läßt] auch nicht in abzählbar viele elementenfremde abgeschlossene Teilmengen zerlegt werden kann. Dagegen kann man im dreidimensionalen Raum Beispiele von nicht- beschränkten Kontinuen bilden, die sich in abzählbar unendlichviele elementenfremde, abgeschlossene Teilmengen (sogar Teilkontinuen) zerlegen lassen. Sierpiński hatte das entsprechende Problem für die Ebene gestellt; es wird hier von Mazurkiewicz vollständig gelöst:
1. Er konstruiert ein schönes Beispiel eines ebenen, nicht-beschränkten Kontinuums, das in abzählbar unendlichviele, elementenfremde, abgeschlossene Mengen zerlegt werden kann.
2. Es gelingt ihm, zu beweisen, daßein ebenes, nicht-beschränktes Kontinuum nicht in abzählbar unendlich viele, elementenfremde Kontinua zerlegt werden kann.
Unabhängig von Mazurkiewicz ist es auch R. L. Moore (mit ähnlicher Grundidee) gelungen, diesen Satz 2. zu beweisen.

Citations:

JFM 46.0299.*
Full Text: EuDML