Sur une généralisation de la methode dc Cesàro. (French) JFM 50.0157.03

Zygmund, A.

C. R. 179, 870-872 (1924).

Setzt man bei reellen \(\alpha_i\) \[ \varphi=\varphi(\alpha_0,\alpha_1, \dots,\alpha_k;x)=\frac{(1-x)^{\alpha_0+1}}{\prod_{i=1}^k \left(\log_i \frac{e_i}{1-x} \right)^{\alpha_i}}; \]
\[ \log j=\log(\log(j-1),\;e_j=e^{ej-1},\quad e_1=e, \] und bei beliebigem \(\sum_0^\infty a_n\) \[ \frac 1\varphi \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty s_n^{(\alpha_0,\dots,\alpha_k)}x^n,\;\frac 1\varphi=\sum_{n=0}^\infty A_n^{(\alpha_0,\dots,\alpha_k)}x^n, \] so kann, in Verallgemeinerung der Cesàroschen \((C,\delta)\)- Methode, wobei \(\alpha_i=0\) für \(i>0\) und \(\alpha_0=\delta\) ist, der Grenzwert des Quotienten \(S_n^{(\alpha_0,\dots,\alpha_k)}:A_n^{(\alpha_0,\dots,\alpha_k)} \) für \(n \to \infty\), falls er existiert, als die \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_k)\)-Summe der Reihe \(\sum a_n\) betrachtet werden, indem die meisten sich auf die \((C,\delta)\)- Summierbarkeit beziehenden Sätze auf diesen allgemeinen Fall sinngemäßübertragen werden können. Dies gilt sogar von den Fatou- M. Rieszschen Sätzen.

Reviewer: Wintner, A., Dr. (Leipzig)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 2. Allgemeine Theorie der unendlichen Zahlenfolgen. (Reihen, Produkte und Kettenbrüche). Spezielle Folgen.