Sur les faisceaux des tangentes à une courbe. (French) JFM 50.0187.03

Saks, S.; Zygmund, A.

Fund. math. 6, 117-121 (1924).

Mit Hilfe der (auf Ableitungen bezüglichen) Lusinschen Sätze die in der vorigen Note (auf Derivierte) verallgemeinert worden sind, wird,hier der schöne Satz bewiesen: Das Büschel der Tangenten, die von einem Punkt \(P\) der Ebene an eine gegebene Kurve \(C\) gehen, hat das Maß0 (abgesehen von dem Fall, wo \(P\) auf 0 liegt).
Zugleich wird damit die Antwort gefunden auf eine von Ruziewicz [Fund. math. 5 (1924), 338] gestellte Frage: Wenn \(f(x)\) eine beliebige (meßbare oder nichtmeßbare) Funktion ist, welches ist das Maßder Menge aller Punkte \(x\), für welche \[ \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(x)+h)-f(x)}{h} \right| =\infty \] ist ? Antwort: eine Nullmenge.

Reviewer: Rosenthal, Prof. (Heidelberg)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.