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Recherches sur la sommabilité des séries ultrasphériques par la méthode des moyennes arithmétiques. (French) JFM 50.0207.05

In der vorliegenden Arbeit begründet der Verf. die Summationstheorie der sog. ultrasphärischen Entwicklungen. Es handelt sich um die Verallgemeinerung bekannter Sätze über die Laplacesche Reihe, die aber mit erheblichen rechnerischen Schwierigkeiten verbunden ist. Die \(k\)-dimensionale ultrasphärische Entwicklung wird folgendermaßen definiert. Es sei \(F(\theta,\varphi)\) eine stetige Funktion auf der gewöhnlichen Einheitskugel \(E\) \((0 \leqq \theta \leqq \pi, 0 \leqq \varphi < 2\pi)\) und die Polynome \(P_n^{(\lambda)}(x)\) durch die Entwicklung \[ \frac{1}{(1-2xz+z^2)^\lambda}=\sum_{n=0}^\infty P_n^{(\lambda)}(x)z^n \] erklärt. Hierbei ist \(\lambda=\frac{k- 2}{2}\) zu setzen. Dann lautet die zu untersuchende Entwicklung: \[ (*)\quad F(\theta,\varphi) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n+\lambda}{2\pi} \iint_E \frac{P_n^{(\lambda)}(\cos \gamma) F(\theta',\varphi')d \sigma'}{[\sin^2 \theta' \sin^2(\varphi- \varphi')]^{\frac 12-\lambda}}, \] wobei \(d \sigma\) das Flächenelement von \(E\) und \(\gamma\) die sphärische Distanz der Punkte \((1, \theta,\varphi)\) und \((1, \theta', \varphi')\) bezeichnet. Für \(k = 3\) geht diese Reihe in die Laplacesche über; der Grenzfall \(k\to 2\) führt auf die Fouriersche Reihe.
Es sei \([\sin^2\theta' \sin^2(\varphi-\varphi')]^{\lambda- \frac 12} F(\theta',\varphi')=G(\theta',\varphi')\) absolut integrabel auf \(E\). Unter dem Mittelwert von \(F\) in dem Punkte \((\theta,\varphi)\) verstehen wir den Grenzwert \[ F_0(\theta,\varphi)=\frac{\Gamma(\frac 12) \Gamma(\frac 12+\lambda)}{\Gamma(\lambda)} \lim_{t \to 0} \frac{t^{- 2\lambda}}{2\pi} \int_\gamma G(\theta',\varphi')ds', \] wobei die Integration über einen sphärischen Kreis \(\gamma\) um \((\theta,\varphi)\) vom Radius \(t\) zu erstrecken ist, \(ds'\) ist das Bogenelement von \(\gamma\). Existiert nun \(F_0(\theta,\varphi)\), so ist die Entwicklung \((*)\) summabel \((C,\delta=2\lambda)\) mit der Summe \(F_0(\theta,\varphi)\). Bei den Summabilitätssätzen mit \(\delta<2 \lambda\) müssen besondere Voraussetzungen über das Verhalten \(G(\theta',\varphi')\) in der Nähe des “Gegenpols” gemacht werden. Ist z. B. \[ \left( \cos \frac \gamma 2 \right)^{\delta-2\lambda} G(\theta',\varphi') \] absolut integrabel auf \(E\) und \(F_0(\theta,\varphi)\) vorhanden, so ist \((*)\) summabel \((C,\delta>\lambda)\). Die Cesàroschen Mitteln von der Ordnung \(\delta \leqq 2\lambda+1\) der Entwicklung \((*)\) verhalten sich besonders einfach: sie bleiben z. B. stets zwischen der oberen und unteren Grenze der Funktion \(F(\theta,\varphi)\).

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Full Text: EuDML