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Le théorème de M. Picard, suites de fonctions holomorphes, fonctions méromorphes et fonctions entières. (French) JFM 50.0211.02
Das erste Kapitel bringt eine Erweiterung eines Satzes von Ostrowski (Hamburger Abh. 1; F. d. M. 48, 372 (JFM 48.0372.*), 1922), der sich auf die Konvergenz einer Folge in einem Gebiet \(G\) regulärer eindeutiger analytischer Funktionen \(f_n(z)\) gegen eine ebensolche Grenzfunktion \(f(z)\) bezieht. Während bei Ostrowski aus einer Abschätzung von \(| f_n(z)-f(z)| \) nach oben in \(G\) und einer Abschätzung von \(| f_n(z)-f(z)| \) nach unten in einem Teilgebiet \(B\) eine Abschätzung von \(| f_n(z)-f(z)| \) nach unten in jedem abgeschlossenen Teil von erschlossen wird, tritt hier an die Stelle des Gebietes \(B\) eine sich gegen einen Grenzpunkt hinreichend stark häufende diskrete Punktmenge.
Im zweiten Kapitel erhalte die Juliaschen Sätze (Ann. de l’Éc. Norm. 36, 37, 38; F. d. M. 47, 312 (JFM 47.0312.*), 1919-1920, 48, 363, 1921) über die Ausnahmewerte meromorpher Funktionen, welche asymptotische Werte besitzen, eine quantitative Fassung, in der auf die Werteverteilung der Funktion in bestimmt angebbaren Gebieten geschlossen wird. Diese Werteverteilung und die Lage der Gebiete hängt von der Art der Annäherung der Funktion an den asymptotischen Wert allein ab. Das Hauptergebnis ist dieses:
Es sei \(Z=\varphi(z)\) eine meromorphe Funktion, die den asymptotischen Wert Null besitzt. Es sei \(\mu(r)\) eine über alle Grenzen wachsende Funktion von \(r =| z| \), die auf dem Wege des asymptotischen Wertes kleiner als \(\frac{1}{| \varphi(z)| }\) bleibt. Es werde \[ A(r)=[\log \mu(r)]^{1-\varepsilon},\;q(r)=\frac \varepsilon 6 \log \log \mu(r) \] gesetzt, wo \(0< \varepsilon < 1\). Wenn dann \(| z| \) so groß ist, daß \(\log \mu(r)>e^{\frac{343}{\varepsilon}}\), so besitzt \(\varphi(z)\) eine der beiden folgenden Eigenschaften:
1. In dem zu \(| z| = r\) symmetrischen Kreisring der Breite \(\frac{\pi r}{q(r)}\) gilt \(\log| \varphi(z)| <-A(r)\).
2. Es gibt mindestens einen Kreis \(C(r)\), dessen Mittelpunkt auf \(| z| = r\) liegt, und dessen Radius ist, in dem entweder \(\varphi(z)\) alle Werte annimmt, deren Betrag kleiner als \(A(r)\) ist, mit Ausnahme der Umgebung eines Wertes \(a(r)\). Diese Umgebung gehört dem Kreis \(| z-a| <\frac{2}{A(r)}\) an. Oder aber \(\varphi(z)\) nimmt alle endlichen oder unendlichen Werte an, mit Ausnahme der Umgebungen von zwei Werten \(a(r)\), \(b(r)\), wo wieder diese Umgebungen Kreisen vom Radius \(\frac{2}{A(r)}\) um diese Punkte angehören. Ein entsprechender Satz gilt auch, wenn \(\infty\) asymptotischer Wert ist. Nähere Ausführungen über ganze Funktionen schließen sich an.
Ein drittes Kapitel untersucht das Verhalten ganzer Funktionen endlicher Ordnung in Winkelräumen. Es gewinnt u. a. folgende Ergebnisse: \(f(z)\) sei eine ganze Funktion endlicher Ordnung \(\varrho\). Es sei \(\varrho \geqq \frac 12\). \(\omega\) sei Grenzargument der Stellen, wo \(f(z)\) die Ordnung \(\varrho\) hat. Dann ist \(f(z)\) von der Ordnung \(\varrho\) auf jeder Halbgeraden, die einem gewissen Winkelraum \(\alpha\) der Öffnung \(\frac \pi \varrho\) angehört, dessen Scheitel \(z = 0\) ist und der die Halbgerade \(\omega\) im Innern oder am Rande hat. Von hier aus wird folgende Verschärfung eines Satzes von Bieberbach (Math. Zeitschr. 3; F. d. M. 47, 299 (JFM 47.0299.*), 1919) gewonnen:
In jedem Winkelraum der Öffnung \(\frac \pi \varrho\), dessen Scheitel bei \(z = 0\) liegt und der mit dem Winkel \(\alpha\) ein Gebiet gemeinsam hat, nimmt dann \(f(z)\) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.

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Full Text: EuDML