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Sur les fonctions méromorphes. (French) JFM 50.0221.01
Es werden einige allgemeine Resultate über meromorphe Funktionen entwickelt, die als Spezialfälle die Fundamentaltheoreme über ganze Funktionen enthalten. Sie ergeben sich leicht aus der allgemeinen Formel \(\log f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log | f(\varrho e^{i \vartheta})| \frac{\varrho e^{i \vartheta}+x}{ \varrho e^{i \vartheta}-x} d \vartheta - \sum_{| \alpha \mu| <\varrho} \log \frac{\varrho^2-\overline{a}_\mu x}{\varrho(x-a_\mu)} + \sum_{| b_\nu| <\varrho} \log \frac{\varrho^2-\overline{b}_\nu x}{\varrho(x-b_\nu)}\), die für eine im Kreise \(| z| <\varrho\) meromorphe Funktion \(f\) gilt und ihren Wert an einer Stelle \(x\) innerhalb dieses Kreises zu berechnen erlaubt, wenn man die Werte von \(| f| \) auf der Peripherie \(| z| =\varrho\) sowie die Nullstellen \(a_\mu\) und die Pole \(b_\nu\) innerhalb des Kreises kennt.
Bei den Nevadlinnaschen Sätzen spielen folgende Größen eine Rolle \(n(r, z)\), die Anzahl der Nullstellen von \(f(x)-z\) in dem Kreise \(| x| <r\) (mit Ausnahme des Ursprungs), ferner die Integrale \[ N(r,z)=\int_0^r \frac{n(t,z)}{t} dt,\;m(r,z)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \overset{+} {\log} \left| \frac{1}{f(re^{i \varphi})-z} \right| d \varphi, \] wo \(\overset{+}{\log}=\log\) oder \(=0\), je nach dem das Argument \(\geqq 1\) oder \(<1\) ist. Im Fälle \(z=\infty\) muß man \(f-z\) durch \(1:f\) ersetzen. Schließlich wird noch die Bezeichnung \(T(r,z)=m(r,z)+N(r,z)\) eingeführt.
Es gelten dann z. B. folgende Theoreme:
1. Der Ausdruck \(T(r,z)\) definiert eine wachsende Funktion von \(r\) und eine konvexe Funktion von \(\log r\).
2. Der Quotient \(T(r,a):T(r,b)\) strebt bei unendlich zunehmendem \(r\) der Einheit zu, was auch \(a\) und \(b\) sein mögen.
Wenn man als Ordnung der meromorphen Funktion \(f\) den Grenzwert \[ \overline{\lim_{r \to \infty}} \left( \frac{\log T(r,z)}{\log r} \right) \] bezeichnet, der nach Satz 2 von \(z\) unabhängig ist, so läßt sich für meromorphe Funktionen von endlicher Ordnung folgender Fundamentalsatz aufstellen:
3. Die ganze Zahl \(p\) sei so bestimmt, daß \[ \lim_{r \to \infty} \left( \frac{T(r,z)}{r^{p+1}} \right)=0 \] ist. Dann läßt sich \(f\) auf folgende Form bringen: \[ f(x)=x^\alpha e^{P(x)} \frac{\pi_1(x)}{\pi_2(x)}, \] wo \(\pi_1(x)\) und \(\pi_2(x)\) kanonische Produkte von einem Geschlecht \(\leqq p\) bedeuten, \(P(x)\) ein Polynom \((\leqq p)\)-ten Grades, \(\alpha\) eine ganze Zahl.
Viele wichtige Sätze aus der Theorie der ganzen Funktion sind in den obigen als Spezialfälle eingeschlossen.

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