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Zur Theorie der Dirichletschen Reihen. (German) JFM 50.0227.01

Eine überaus reichhaltige Arbeit, deren vielseitiger Inhalt in einem Referat nur unvollkommen wiedergegeben werden kann. Im ganzen handelt es sich um (nicht triviale) Übertragungen und Anwendungen bekannter Sätze der Potenzreihentheorie auf die Theorie der Dirichletschen Reihen, insbesondere des grundlegenden Satzes über die Lage der Extrema und der zahlreichen Folgerungen aus ihm. Dabei werden aus Zweckmäßigkeitsgründen die Dirichletschen Reihen in der “Laurentschen” Form \[ (*)\quad f(s)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_nr^{- \lambda_ns},\;s=\sigma+it, \] angesetzt mit \(0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\dots,\to+\infty\) und \(\lambda_{-n}=-\lambda_n\). Den Halbebenen bei den üblichen Dirichletschen Reihen entsprechen hier natürlich Streifen. Es kommt neben den Streifen der absoluten) der bedingten und der gleichmäßigen Konvergenz besonders derjenige “der endlichen Ordnung” in Betracht, der also die Eigenschaft hat, daß in jedem echten Teilstreifen desselben \(f(s)=O(| t| ^k)\) bleibt mit – für diesen Teilstreifen – festem \(k\).
Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich ausschließlich auf das Innere dieses Streifens.
In § 1 wird im Anschluß an klassische Sätze über Potenzreihen und an die Phragmén-Lindelöfsche Theorie (s. F. d. M. 39, 465 (JFM 39.0465.*)) 1908) der Einfluß untersucht, den eine Beschränktheit oder einseitige Beschränktheit von \(f(s)\) längs einer Geraden \(\sigma\) = konst auf die Funktion ausübt. Es ergeben sich Sätze wie diese:
1. Ist \(| f| \leqq M\) für \(\sigma=\gamma\) und \(\sigma=\gamma'>\gamma\), so ist \(| f(s)| \leqq M\) auch für alle \(s\) mit \(\gamma \leqq \sigma \leqq \gamma'\); und analog für einseitige Beschränktheit, etwa \(\mathfrak R f(s) \geqq 0\).
2. Sind alle \(a_n = 0\) für \(n < 0\) und ist auf \(\sigma=\gamma\) stets \(\mathfrak R f(s) \geqq 0\), so ist dies auch für alle \(s\) mit \(\sigma \geqq \gamma\) der Fall. (Hauptsatz des § 1.)
3. Sind nur endlich viele \(a_n\) mit \(n<0\) von 0 verschieden und ist \(f(s)\) auf \(\sigma=\gamma\) gleichmäßig konvergent, so gilt dies auch im Gebiete \(\sigma \geqq \gamma\).
4. Es sei \(a_n=0\) für \(n<n_0\) und \(| f(s)| \leqq M\) für \(\sigma=\gamma\). Dann gilt für \(\sigma \geqq \gamma\) die Abschätzung \(| f(s)| \leqq Me^{-\lambda_{n_0}(\sigma-\gamma)}\). – Aus diesem Analogon zum Schwarzschen Lemma ergeben sich, ähnlich wie aus diesem selbst, zahlreiche spezielle Folgerungen.
5. Es sei \(a_n=0\) für \(n<n_0\), aber \(a_{n_0} \neq 0\), und es sei \(| f(s)| \leqq M\) auf \(\sigma=\gamma\). Ist dann \(M(\sigma)\) das Maximum von \(| f(s)| \) auf der Geraden \(\mathfrak R(s)=\sigma\), so ist \(\log (e^\lambda_{n_0}\sigma M(\sigma))\) eine stetige, konvexe, mit \(\sigma\) nicht zunehmende und, von einem angebbaren Ausnahmefall abgesehen, sogar monoton abnehmende Funktion von \(\sigma\), die für \(\sigma \to + \infty\) gegen \(| a_{n_0}| \) strebt.
In § 2 werden in Analogie zu den Fourierformeln für die Koeffizienten einer Laurentreihe Koeffizientenformeln für die Reihe \((*)\) hergeleitet, die dann weiterhin zu Abschätzungszwecken benutzt werden.
In § 3 werden unter der Voraussetzung, daß \(f(s)\) gleichmäßig auf einer Geraden \(\sigma=\gamma\) beschränkt bzw. einseitig beschränkt ist, Ungleichungen für die Koeffizienten an gefolgert, die der klassischen Cauchy- Abschätzung bei Potenzreihen bzw. den Ergebnissen von Carathéodory über einseitig beschränkte Potenzreihen entsprechen. Hierbei treten für den behandelten Reihentyp \((*)\) eigentümliche Schwierigkeiten auf, die durch einen besonderen Beweisansatz überwunden werden. Als Nebenergebnis dieses Paragraphen ergibt sich auch ein Analogon zu dem schönen Satz von Bohr über die Majorante einer Potenzreihe.
Der letzte Paragraph (§ 4) enthält im direkten Anschluß an einen Satz von Carlson (s. F. d. M. 48, 338 (JFM 48.0338.*), 1921) Untersuchungen über die absolute Konvergenz der Quadratsumme der Koeffizienten in \((*)\) nebst Folgerungen, die in diesen Problemenkreis gehören. Auch hier erfordert der Reihentyp \((*)\) besondere Methoden gegenüber den üblichen Reihen. – Es sei noch der folgende Satz hervorgehoben: Ist \[ | f(s)| \leqq M \;\text{auf}\;\sigma=\gamma,\;\text{so gilt}\;\sum_{n=-\infty}^{+\infty}| a_n| ^2 e^{-2 \lambda_n \gamma} \leqq M^2; \] ist \[ | \mathfrak R f(s)| \leqq M \;\text{auf}\;\sigma=\gamma,\;\text{so gilt} \;\sum_{n=-\infty}^{+\infty}| a_ne^{-\lambda_n \gamma}+\overline{a}_{-n}e^{\lambda_n \gamma}| ^2 \leqq 4M^2. \]

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