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Sur les séries de fractions rationelles. (French) JFM 50.0241.03

Die Abhandlung knüpft an frühere Noten des Verf. [vgl- J. Wolff, C. R. 173, 1056–1057, 1327–1328 (1921; JFM 48.0320.01)] an.
1. Unter einer Reihe (A) wird eine Reihe vom Typus \(\sum \frac{A_n}{x-\alpha_n}\) verstanden, in welcher \(\sum | A_n| \) konvergiert und die \(\alpha_n\) beliebige komplexe Zahlen sind. \(E\) bezeichne die abgeleitete Menge der Punktmenge \((\alpha_n)\). \(G\) sei eine endliche Anzahl einfacher geschlossener Kurven ohne gemeinsame Punkte. \(G\) kann als gemeinsame Grenze zweier Punktmengen \(D\) und \(D'\) (vom Verf. Region genannt) betrachtet werden, so daßman durch überschreiten irgendeiner der Kurven \(G\) von einer Region zur anderen übergeht. \(D\) und \(D'\) heißen auch konjugierte Regionen. \(G\) wird als beiden Regionen angehörig betrachtet. Eine der Regionen enthält den unendlich fernen Punkt.
2. \(f(x)\) heiße regulär in der Region \(D\), wenn \(f(x)\) holomorph in \(D\) (einschließlich \(G\)) ist und \(D\) den unendlich fernen Punkt enthält und dort verschwindet. \(D\) wird im allgemeinen aus getrennten, einfach oder mehrfach zusammenhängenden Gebieten bestehen. In jedem dieser Gebiete fällt \(f(x)\) mit einer analytischen Funktion zusammen, die in jedem Gebiet eine andere sein kann.
3. Eine Reihe von Typus (A) heißt eine Reihe (B) in bezug auf \(D\), wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
a) Die \(\alpha_n\) sind innere Punkte von \(D'\) und die Punktmenge \(E\) fällt mit \(G\) zusammen.
b) Die Reihe \(\sum \frac{A_n}{x-\alpha_n}\) und alle aus ihr durch gliedweise Differentiation abgeleiteten sind in \(D\) (und auf \(G\)) absolut konvergent. Die entsprechenden Summen sind gleich einer in \(D\) regulären Funktion \(f(x)\) und ihrer Ableitungen.
c) \(A_n\) erfüllt für alle \(n\) eine Ungleichung \(| A_n| <\lambda e^{-\theta n \sqrt{u_n}}\), in welcher \(u_n\) einem der Typen \[ u_n=\frac{1}{n \log^{1+\alpha_n}},\;u_n=\frac{1}{n \log n \dots \log_r n \log_{r+1}^{1+\alpha} n},\dots,\;(0<\alpha<1) \] gehört, und in welcher \(\lambda\) von \(G\) und von \(f(x)\) unabhängig ist, und \(\theta\) nur von \(G\) abhängt.
Wenn die Krümmung in jedem Punkt von \(G\) eine beschränkte Funktion dieses Punktes ist, so läßt sich, in bezug auf \(D\), jede in \(D\) reguläre Funktion in eine Reihe (B) entwickeln, und zwar kann man die an unabhängig von \(f(x)\) wählen.
4. Es sei \(E_0\) eine nirgends dichte Punktmenge. \(\Phi(x)\) sei auf der Komplementärmenge definiert und regulär in jeder der durch \(E_0\) bestimmten Regionen. Eine Reihe vom Typus (A) heißt eine Reihe (C) in bezug auf \(E_0\) und \(\Phi(x)\), wenn die Menge \(E\), welche zu dieser Reihe gehört, dicht ist und \(E_0\) enthält und in jedem Punkt \(x\), der \(E_0\) nicht angehört, die Reihe die Summe \(\Phi(x)\) hat. Dann gehört jedem Paare \((E_0,\Phi(x))\) eine Reihe (C) zu.
5. Wenn \(\sum| A_n| \) konvergiert, bilden die Punkte bedingter Konvergenz der Reihe \(\sum \frac{A_n}{x-\alpha_n}\) eine Menge von Masse Null. Setzt man \(\psi(x)=\sum \frac{| A_n| }{| x- \alpha_n| }\), wenn die rechte Seite konvergiert und \(\psi(x)=0\) wenn dies nicht der Fall ist, so ist \(\psi(x)\) auf jedem endlichen Gebiet integrierbar.
6. Verstehen wir jetzt unter \(f(x)\) die Summe der Reihe \(\sum \frac{A_n}{x-\alpha_n}\) in einem Punkt \(x\), der von allen \(\alpha_n\) verschieden und auch kein Häufungspunkt von diesen ist, so gilt der Satz: Wenn \(| A_n| > 0\) ist und \(\sum | A_n| \) konvergiert wenn ferner für einen bestimmten Index \(k\) die Bezeichnung \(f(x)(x - \alpha_k)\to 0\) gilt für \(x \to \alpha_k\) (\(x \neq \alpha_m\), \(x\) liegt nicht in \(E\)), dann ist die Menge \(E\) von positivem Maß.

MSC:

30-XX Functions of a complex variable

Citations:

JFM 48.0320.01
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Full Text: DOI Numdam EuDML