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Sur les familles quasi-normales de fonctions analytiques. (French) JFM 50.0246.01
Bezüglich der Definition einer quasi-normalen Funktionenfamilie \(F\) und des Begriffs des Ausnahmepunktes vgl. das Referat F. d. M. 48, 323 (JFM 48.0323.*), 1921-22.
Ein Ausnahmepunkt \(A\) heißt von der Ordnung \(\mu\), wenn es in \(F\) unendlich viele Funktionen gibt, welche in einer gegebenen Umgebung von \(A\) jeden komplexen Wert mindestens \(\mu\)-mal annehmen, dagegen bloß endlich viele, welche ebenda jeden Wert mehr als \(\mu\)-mal annehmen. Die Summe der Ordnungen der einzelnen Ausnahmepunkte ergibt die totale Ordnung \(p\) von \(F\).
Der Hauptsatz des ersten Teiles lautet: Die Familie \(F\) der in einem zusammenhängenden Gebiete \(D\) regulären Funktionen \(f(z)\) sei daselbst quasinormal von der totalen Ordnung \(p\). Wenn in den Punkten \(x_1,x_2,\dots,x_k\) von \(D\) bzw. die ersten \((\alpha_1-1),(\alpha_2-1),\dots,(\alpha_k-1)\) Ableitungen von \(f(z)\) gegeben oder dem absoluten Betrage nach beschränkt sind, wobei \[ \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k \geqq p+1 \] ist, so sind die Funktionen \(f(z)\) in jedem abgeschlossenen Teilbereich von \(D\) gleichmäßig beschränkt.
Der zweite Teil behandelt die analoge allgemeinere Frage bezüglich der Familien meromorpher Funktionen. Der dritte Teil bringt Anwendungen auf den Picard-Landau-Schottkyschen Ideenkreis, welche schon in der eingangs erwähnten Besprechung angedeutet worden sind.

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Full Text: DOI Numdam EuDML