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Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen. (German) JFM 50.0247.04

Im Anschluß an neuere Resultate von Blaschke (F. d. M. 45, 638 (JFM 45.0638.*), 1921) und Ostrowski (Acta Lit. ac Scient. Szeged I, 80-87, 1923) wird der Satz bewiesen:
Es sei eine Folge analytischer Funktionen \[ (1)\quad f_1(z),f_2(z),\dots \] gegeben, die im Kreise \(| z| <1\) regulär sind und den Ungleichungen genügen: \[ \int_0^{2\pi} \overset{+}{\log}| f_n(\varrho e^{i \varphi})| d \varphi < k,\;0<\varrho<1,\;n=1,2,3,\dots, \] und \(k\) von \(n\) und \(\varrho\) unabhängig ist Wenn die Folge (1) auf einer abzählbaren Punktmenge \(\{z_k\}\) \((| z_k| <1)\) konvergiert und die Reihe \(\sum (1-| z_k| )\) divergiert, so konvergiert die Folge (1) gleichmäßig im Kreise \(| z| <r\) \((0 < r < 1)\).

Citations:

JFM 45.0638.*
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References:

[1] Vitali, Rend. del R. Ist. Lomb. (2)36 (1903), S. 771. ? Bieberbach, Lehrbuch der FunktionentheorieI, S. 105. ? Blaschke, Leipz. Ber.67 (1915), S. 194.
[2] Jensen, Acta Math.22 (1899), S. 359. · JFM 30.0364.02
[3] Ostrowski, Acta Lit. Ac. Scient.1, 8 (1923), S. 80.
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