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Sur les intégrales multiples des variétés algébriques. (French) JFM 50.0265.02

Ist auf einer \(d\)-dimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeit \(V_d\) eine Anzahl (\(d-1\))-dimensionaler algebraischer Mannigfaltigkeiten \(V_{d-1},V_{d-1}',\dots\) gegeben, so gebe es \(r\), aber nicht mehr linear unabhängige \(k\)-dimensionale Zyklen auf \(V_d\), die \(V_{d-1},V_{d-1}',\dots\) nicht treffen. Der kleinste Wert, den man durch geeignete Wahl von \(V_{d-1},\dots\) der Zahl \(r\) erteilen kann, gibt die Anzahl der linear unabhängigen (eigentlichen) \(k\)-fachen Integrale zweiter Gattung auf \(V_d\).
Wesentlich für das Gelingen des Beweises sind die Definitionen. Ein \(k\)-faches algebraisches Integral heißt uneigentlich, wenn es sich nach dem erweiterten Stokesschen Satz auf ein \((k-1)\)-faches zurückführen läßt. Es heißt von der zweiten Gattung, wenn sich in der Umgebung jedes Punktes als Summe eines Integrals mit endlichen Koeffizienten und eines uneigentlichen darstellen läßt. Eine Anzahl Integrale zweite Gattung heißt linear abhängig, wenn eine nicht identisch verschwindende Linearkombination uneigentlich ist.
Der Beweis beruht auf
1. der genaueren Untersuchung der Zyklen und ihrer Schnitte mit \(V_{d-1},V_{d-1}',\dots\), wie sie zum Teil in des Verf. Buch “L’analysis situs et la géométrie algébrique” (Paris 1924) ausgeführt ist;
2. einem Hilfssatz, der aus rationaler Abhängigkeit der Singularitäten und Perioden eines Abelschen Integrals von Parametern die auch in die Gleichung der Kurve eingehen, die rationale Abhängigkeit des Integranden von den Parametern folgert;
3. vollständiger Induktion nach \(k\) und \(d\). Von der ersteren werden nur die ersten Schritte ausgeführt.

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