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Über die automorphen Funktionen mehrerer Veränderlicher. (German) JFM 50.0271.04

Frühere Bearbeiter der Theorie der automorphen Funktionen mehrerer Variablen wie Picard und Giraud sind bei ihren Bemühungen ein Analogon zur Theorie der automorphen Funktionen einer Variablen zu finden: daran gescheitert, daß die automorphen im der eigentlichen Diskontinuität der Gruppen wesentliche Singularitäten besaßen. Erst Myrberg ist es gelungen, den inneren Grund für diese Erscheinung zu finden und hierauf eine zur Theorie der automorphen Funktionen einer Variablen analoge Theorie zu schaffen. Myrberg hat entdeckt, daß der Grund für die bis dahin unüberwundenen Schwierigkeiten darin liegt, daß bei Funktionen mehrerer Variablen für die eigentliche Diskontinuität der Gruppen nicht allein die Häufungspunkte einer Menge durch die Gruppe äquivalenter Punkte, sondern vielmehr die Häufungsgebilde von Scharen mehrdimensionaler äquivalenter Gebilde maßgebend ist. Zur näheren Wiedergabe seiner Entdeckung müssen zunächst einige seiner Hilfsbegriffe angeführt werden. Ich beschränke mich auf 2 Variable, obwohl vieles von Myrberg schon in dieser Arbeit für beliebig viele Variable hergeleitet wird. Man betrachte eine Gruppe von Kollineationen und 3 nicht einer Geraden angehörige Punkte. Man unterwerfe sie einer Folge von Operationen der Gruppe. Wenn man dann bei passender Wahl der drei Punkte eine Teilfolge dieser Folge so auswählen kann, daß die äquivalenten aller drei Punkte gegen denselben Grenzpunkt \(\pi\) konvergieren, so nennt man die Folge von der ersten Art, sonst von der zweiten.
Eine Gruppe, die nur Folgen erster Art enthält, heißt selbst von der ersten Klasse. Es gelten dann die beiden charakteristischen Eigenschaften der Folgen erster Art. In jeder Folge erster Art ist eine Teilfolge \((\sigma)\) enthalten, zu der ein Punkt \(\pi\) und eine Gerade \(\lambda'\) gehören, derart, daß die zu \((\sigma)\) äquivalenten Mengen einer beliebigen zu \(\lambda'\) punktfremden abgeschlossenen Menge gleichmäßig gegen \(\pi\) konvergieren und daß bei Ausübung der Inversen von \((\sigma)\) die äquivalenten Mengen einer jeden abgeschlossenen, \(\pi\) nicht enthaltenden Menge gegen \(\lambda'\), konvergieren. Die abgeschlossene Menge aller Punkte \(\pi\) einer Gruppe heißt Menge der Hauptgrenzpunkte, die Menge aller Geraden \(\lambda'\) heißt Menge der Hauptgrenzgeraden. Die Untersuchung bezieht sich dann weiter auf Gruppen erster Klasse, für die es Geraden gibt, die keinen Hauptgrenzpunkt enthalten, und für die es Punkte gibt, die keiner Hauptgrenzgeraden angehören. Im Gebiete einer Variablen liefert dies mutatis mutandis genau die im üblichen Sinn eigentlichen diskontinuierlichen Gruppen. Im Falle zweier Variablen erhält man Beispiele von Gruppen, die den drei Bedingungen genügen, wenn man Gruppen betrachtet, die homogen geschrieben – die Hermitesche Form \(y_1\overline{y}_1+y_2\overline{y}_2 - y_3\overline{y}_3\) invariant lassen und von infinitesimalen Substitutionen frei sind. Myrberg gibt aber auch brauchbare Gruppen ohne solche invariante Mannigfaltigkeit an. Die funktionentheoretische Bedeutung der Hauptgrenzgeraden liegt darin, daß sie im allgemeinen stets als wesentliche Singularitäten auftreten, daß man aber mit Hilfe der Poincaréschen Reihen automorphe Funktionen konstruieren kann, die sonst überall von rationalem Charakter sind. Nur in dem Falle, wo es einen gegenüber allen Operationen der Gruppe invarianten Punkt oder (wie bei der vierfach-periodischen Gruppe) eine invariante Gerade (im Unendlichen) gibt, ist nicht jede Hauptgrenzgerade singuläre Linie. In diesem Falle ist die dritte Bedingung, die Myrberg für die von ihm untersuchten Gruppen aufgestellt hat, nicht erfüllt.

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References:

[1] Picard, Annales de l’École Normale supérieure (3),33 (1916), S. 363; Giraud,Leçons sur les fonctions automorphes, Paris (1920), S. 43-45.
[2] Die Hauptzüge dieser Theorie haben wir in unserem Vortrag:Über die Singularitaten der automorphen Funktionen mehrerer Veranderlichen, gehalten auf dem V. skandinavischen Mathematikerkongreß in Helsingfors im Jahre 1922, entwickelt. Vgl. auch die folgenden Arbeiten des Verfassers:Über die automorphen Funktionen zueier Veranderlichen, Acta mathematica43 (1922),Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veranderlichen, Acta societatis scientiarum fennicae50, Nr. 3 (1922).
[3] Fubini,Introduzione alla teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe, Pisa 1908. · JFM 39.0499.02
[4] Die ersten Beispiele dieser Gruppen hat Picard in seiner Abhandlung:Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires etc. (Acta mathematica1 (1882)) gegeben.
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