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An unusual type of expansion problem. (English) JFM 50.0313.01
Die Hauptfrage in dieser Harvard-Dissertation ist die folgende: Welche sind die Funktionen, die sich in eine Reihe \(\sum a_n \varphi_n[P(x)]\) entwickeln lassen, wenn \(\{ \varphi_n(t) \}\) ein Orthogonalsystem darstellt und \(P(x)\) eine nicht monotone Funktion ist? Der Ausgangspunkt des Verf. sind die beiden Randwertaufgaben: \[ \begin{matrix} \r \qquad & \l\quad & \l\quad & \l\\ (\text{I})& u'+\lambda pu=0, &0\leqq x \leqq 1, &u(0)-u(1)=0,\\ (\text{II})& u'+\lambda pu=0, & 0\leqq x \leqq 1, & u(0)+u(1)=0.\end{matrix} \] Hier sei \(p\) eine beschränkte summierbare Funktion; weiter sei \(\int_0^1 pdx=1\) und es sei möglich, das Intervall \((0,1)\) so mit Intervallen \(\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_n\), zu überdecken, daß folgende Bedingungen erfüllt sind
a) die Intervalle überdecken (0, 1) gerade einmal, b) auf jedem \(\varrho_i\) ist \(p\) entweder fast überall positiv oder fast überall negativ, und c) wenn auf \(\varrho_i\) fast überall \(p>0\) \((p<0)\) ist, dann ist auf den anstoßenden Intervallen fast überall \(p<0\) \((p>0)\).
Die Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenfunktionen sind natürlich \[ \lambda_k=2k \pi i,\;u_k(x)=e^{-2k \pi i P(x)}, \] bzw. \[ \lambda_k=(2k+1)\pi i,\;u_k(x)=e^{- (2k+1)\pi i P(x)}, \] wo \(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots,P(x)=\int_0^x pdt\). Diese Funktionen zusammen mit den Eigenfunktionen des adungierten Systems haben die gewöhnlichen Orthogonalltätseigenschaften.
Nachdem der Verf. dem Falle, wo \(p\) fast überall gleich 1 ist, einige interessante Bemerkungen gewidmet hat, geht er zu einer ausführlichen Besprechung der Transformationen \(t=P(x)\) Integrabilitätseigenschaften über. Es handelt sich im wesentlichen um die gewisser sogenannter \(P\)-Mittel die aus einer Funktion \(f(x)\) mit Hilfe von \(P(x)\) gebildet sind.
Es seien nun \(\{ \varphi_{\nu,n}(t)\}\), \(\nu=1,2\), zwei normierte Orthogonalsysteme für das Intervall (0,1) und \(\varphi_{\nu,n}(t+1)=(-1)^{\nu-1} \varphi_{\nu,n}(t)\). Die Reihen \[ \sum a_{\nu,n} \varphi_{\nu,n}[P(x)]\;\text{mit}\;a_{\nu,n}=\int_0^1 pf \varphi_{\nu,n}[P]dx \] sind dann mit den beiden \(P\)-Mitteln assoziiert. Geeignete Folgen von Partialsummen dieser Reihen konvergieren im wesentlichen gleichmäßig gegen Funktionen \(g_\nu^*[P]\), wo \(g_\nu^*(t)-g_\nu(t)\) zu allen Funktionen \(\varphi_{\nu,n}(t)\) orthogonal ist und die \(g_\nu(t)\) die \(P\)-Mittel von \(f(x)\) sind. Dabei wird die Existenz von \(\int_0^1 pf^2 dx\) angenommen. Wenn die Funktion \(P(x)\) nicht monoton ist gibt es unendlich viele Funktionen \(f(x)\), die nicht fast überall Null sind und deren \(P\)-Mittel gleichzeitig identisch Null sind. In diesem Falle gibt es also unendlich viele wesentlich verschiedene Funktionen, die denselben formalen Reihen \(\sum a_{\nu,n}\varphi_{\nu,n}[P(x)]\) entsprechen, und dies sogar unabhängig von der Vollständigkeit von \(\{ \varphi_{\nu,n}(t)\}\).

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