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Neue Beiträge zur Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. (German) JFM 50.0325.01
“Die folgenden Seiten sind durch einen Encyklopädieartikel über elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, der jetzt abgeschlossen ist und demnächst veröffentlicht werden soll, veranlaßt [vgl. vorst. Ref.]. Bei der Abfassung des Referates hat sich für einige Sätze eine verschärfte Fassung, für andere eine vereinfachte Beweisführung ergeben. Auch liegen verschiedene, soweit ich sehe, neue Resultate vor. Die neuen Ergebnisse sollen in diesem Aufsatz in einem losen Zusammenhang wiedergegeben werden.”
Es wird zunächst eine neue Methode entwickelt zur Behandlung der zweiten Randwertaufgabe der Differentialgleichung \[ (1)\quad u_{xx}+u_{yy}+au_x+bu_y+cu=f, \] wobei die Normalableitung \(u_n\) auf dem Rande \(S\) eines Gebietes \(T\) als Funktion \(g=g(s)\) der Bogenlänge \(s\) vorgeschrieben ist. Auf die genaue Wiedergabe der Stetigkeitsvoraussetzungen usw. muß hier verzichtet werden. Es wird angenommen, daß die zu \(\Delta w+qw=0\); \(g=g(x,y)<0\) und zu \(T+S\) gehörige zweite Randwertaufgabe schon erledigt ist und es wird, falls \(w\) die zu der vorgelegten Normalableitung \(g(s)\) gehörige Lösung bezeichnet und \(U=u-w\): \(V=\Delta U+qU\) gesetzt ist, die Bestimmung von \(V\) auf eine Integralgleichung zurückgeführt, welche (nach einer Iteration) der Fredholmschen Theorie zugänglich ist. Ähnlich wird die zu (1) gehörige dritte Randwertaufgabe, sowie der Fall von drei Dimensionen behandelt.
Es wird sodann zu der ersten Randwertaufgabe der Differentialgleichung \[ (2)\quad \sum_1^3 \sum_1^3 A_{jk} \frac{\partial^2u}{\partial x_j \partial x_k}+\sum_1^3 B_j \frac{\partial u}{\partial x_j}+Fu=0 \] \((A_{jk}=A_{kj}\) übergegangen. Ist dabei die Randfunktion zweimal stetig differentiierbar und erfüllen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung eine Höldersche Bedingung, so kann man die Aufgabe bei hinreichend kleinen Gebieten im Anschluß an A. Korn nach einer linearen Transformation mit Hilfe von schrittweisen Annäherungen lösen. Die Heranziehung der zu (2) adjungierten Differentialgleichung ergibt, daß die Voraussetzung der zweimal stetigen Differentiierbarkeit z. B. durch diejenige der Stetigkeit ersetzt werden kann. Es wird schließlich mit einer vom Verf. früher bei anderen Problemen benutzten Methode der Gebietsverschmelzung zu beliebig großen Bereichen übergegangen.
Der zweite Teil der Abhandlung bringt mit höchst einfachen Beweisen eine Fülle von neuen Sätzen über die Eigenschaften der Lösungen. Es seien nur die beiden folgenden Ergebnisse erwähnt. - Jede zu der homogenen \((f \equiv 0)\) Gleichung (1) gehörige Lösung kann in ihrem Regularitätsgebiete nur positive Minima und negative Maxima haben, falls \(c \leqq 0\) in \(T\) ist (das wesentliche ist dabei, daß auch das Verschwinden von \(c\), im Gegensatz zu Paraf, erlaubt ist). Unter derselben Voraussetzung ist die zu der homogen gemachten Gleichung (1) gehörige Greensche Funktion \({\mathfrak G}(x,y;s)\) der ersten Randwertaufgabe derart, daß die (innere) Normalableitung \({\mathfrak G}_n(x,y;s)\) in \(T\) überall \(>0\) ausfällt (im Spezialfalle \(a \equiv b \equiv c \equiv 0\) erhält man einen klassischen Satz von G. Neumann). – Es ist hier nicht möglich, auf sämtliche Resultate einzugehen.

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