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Sur une familie de surfaces algébriques de l’espace à six dimensions. (French) JFM 50.0441.01

Humbert (F. d. M. 26, 518 (JFM 26.0518.*), 1895) hat eine Fläche sechster Ordnung \(F_6\) untersucht, die aus einer Raumkurve \(C\) vom Geschlecht 3 in der Art entsteht, daßeinem Punktepaar auf \(C\) ein Punkt der \(F_6\) entspricht, umgekehrt einem letzteren zwei Punktepaare auf \(C\), die eine “kanonische” Gruppe bilden. Als projektives Modell der \(F_5\) kann man eine \(F_{12}\) in einem \(S_6\) wählen, mit 28 konischen Doppelpunkten \(d_2\) und 63 Überebenen, die sie längs elliptischer \(C_6\) berühren. Betrachtet man im \(S_6\) den Kegel \(V_3^4\), der eine Veronesesche Fläche von einem ihrer Punkte aus projiziert, so wird die \(F_6\) aus diesem Kegel ausgeschnitten durch eine kubische Überfläche, die ihn in 28 Punkten berührt.
Zunächst werden für die obigen Flächen die Invarianten sowie ihr kanonisches System bestimmt. Sodann wird der grundlegende Zusammenhang mit der Veroneseschen Fläche \(V\) im \(S_6\) untersucht. Seien \(x_0, x_1, \dots, x_6\) homogene Punktkoordinaten, \(O_0, O_1, \dots, O_6\) die Ecken des Koordinatenpolyeders. Dann ist die zum Raume \(x_0=0\) gehörige \(V\) darstellbar durch: \[ \begin{cases} x_2 x_3=x_4^2, \;x_3 x_1=x_5^2, \;x_1 x_2=x_6^2, \\ x_1 x_4=x_5 x_6, \;x_2 x_5=x_6 x_4, \;x_3 x_6=x_4 x_5. \end{cases} \] Im \(S_6\) stellen diese Gleichungen den Kegel \(V_3^4\) vierter Ordnung dar, der die \(V\) von \(O_0\) aus projiziert. Eine \(V\) enthält \(\infty^2\) Kegelschnitte \(C_2\) die sich zu je zweien in einem Punkte treffen; der Kegel \(V_3^4\) enthält also \(\infty^2\) Kegel zweiter Ordnung die sich zu je zweien längs einer Erzeugenden schneiden.
Darauf wird eine 5-dimensionale Mannigfaltigkeit \(V_5^n\) der Ordnung \(n\) eingeführt von der Form: \[ x_0^n+x_0^{n-1}\varphi_1(x_1, \dots, x_6)+\cdots+x_0 \varphi_{n1}+\varphi_n=0, \] wo die \(\varphi_i\) Polynome der Ordnung \(i\) in den \(x_1, \dots, x_6\) bedeuten.
Eine solche \(V_5^n\) schneidet den Kegel \(V_3^4\) in einer Fläche \(F\) der Ordnung \(4n\), und jeden der \(\infty^2\) Kegel zweiter Ordnung in einer Kurve \(C\) der Ordnung \(2n\): diese \(C\) bilden auf \(F\) ein Netz \(| C|\).
Seien \(C_1, C_2\) irgend zwei Kurven des Netzes. Die sie enthaltenden \(S_3\) haben eine Gerade gemein; die \(S_3\) gehören somit einer Überebene \(S_2\) an, so daßdie Kurve \(C_1+C_2\) der Schnitt von \(F\) mit einer \(S_2\) ist. Daraus schließt man, daßdie überebenen Schnitte von \(F\) das System \(| 2C|\) bilden. Dies führt zu einer birationalen Korrespondenz zwischen dem Kegel \(V_3^4\) und einem \(S_3\).
Sind \(y_0, \dots, y_3\) die Koordinaten des \(S_3\) und \(A_0, \dots, A_3\) die Koordinatenecken, so gelten die Beziehungen: \[ (2)\quad \frac{y_0}{x_0}=\cdots =\frac{y_3}{x_3}; \frac{y_1}{x_6}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_4}; \frac{y_1}{x_5}=\frac{y_2}{x_4}=\frac{y_3}{x_3}. \] Diese Korrespondenz besitzt gewisse Ausnahmspunkte, die ermittelt werden.
Auf Grund von (2) entspricht der Fläche \(F\) im \(S_3\) eine Fläche \(F'\) der Ordnung \(2n\), mit einem \(n\)-fachen Punkte in \(A_0\), und \(2n\) Ausnahmegeraden in der Ebene \(y_1=0\).
Seien \(C'\) die den \(C\) auf \(F\) entsprechenden Kurven auf \(F'\). Den Kurven \(2C\) auf \(F\) entsprechen die Schnitte der \(F\) mit den \(F_2\), die in \(A_0\) die Ebene \(y_1=0\) berühren. Die \(C'\) sind ebene Kurven der Ordnung \(2n\), die in \(A_0\) zwei benachbarte vielfache Punkte der Ordnung \(n\) besitzen, also das Geschlecht \((n-1)^2\) haben.
Sodann werden die zu \(F'\) adjungierten Flächen der Ordnung \(2n-3\) betrachtet. Sei \(\omega'\) die Ebene einer \(C'\), so wird die kanonische Schar auf \(C'\) ausgeschnitten durch die adjungierten Kurven der Ordnung \(2n-3\), die \((n-1)\)-mal durch jeden der beiden vielfachen Punkte von \(C'\) gehen. Die letzteren zerfallen also in eine feste Gerade und Kurven \(C_{2n-4}\) der Ordnung \(2n-4\), die ein lineares System der Dimension \((n-1)^2-1\) bilden. Diese \(C_{2n-4}\) werden auf \(\omega'\) ausgeschnitten durch Flächen \(F_1'\) der Ordnung \(2n-4\); die \(F_1'\) schneiden aus irgend einer \(C'\) Gruppen der kanonischen Schar aus.
Daraus folgt, daßdie sich aus der Ebene \(y_1=0\) und den \(F_1'\) zusammensetzenden Flächen der Ordnung \(2n-3\) zu \(F'\) adjungiert sind, und daßauch die Umkehrung gilt.
Alsdann wird die Gleichung einer \(F_1'\) aufgestellt und diskutiert; die Fläche besitzt eine Gerade der Ordnung \(n-2\). Diese Hilfsmittel erlauben es, das kanonische System und die Charaktere der Urfläche zu bestimmen; die Fläche ist regulär, d.h. ihr arithmetisches und geometrisches Geschlecht fallen zusammen. Ferner gestattet \(F\) birationale Transformationen \(T\) in sich selbst, die sich dadurch bestimmen lassen, daßsie das kanonische System von \(F\) in sich überführen. Eine solche \(T\) läßt sich abbilden auf eine gewisse Homographie des \(S_6\), nämlich die allgemeinste, die den Kegel \(V_3^4\) in sich transformiert, wie sich aus den Darstellungsgleichungen der \(T\) ergibt.
Zur Fläche \(F\) gehören ferner Involutionen mit einer endlichen Anzahl von Koinzidenzpunkten; auch diese werden durch die \(T\) geliefert.
Als Beispiel solcher Involutionen werden die der Ordnung 7 behandelt.

Citations:

JFM 26.0518.*
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