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Sur deux classes remarquables de congruences \(W\). S. M. F. (French) JFM 50.0475.01
Bull. 52, 434-467 (1924).
Zwei Klassen von \(W\)-Kongruenzen sind Gegenstand der umfangreichen Abhandlung, von der hier zunächst der erste Teil vorliegt: 1. die Kongruenzen \(WR\), die gleichzeitig \(W\)- Kongruenzen und Ribaucoursche Kongruenzen sind, 2. die \(W\)-Kongruenzen, deren Mittelfläche eine Ebene ist. Eine vorläufige Mitteilung erschien im 176. Band der Comptes Rendus (1923).
Mit der erstgenannten Klasse von \(W\)-Kongruenzen hat sich Vaulot in seiner Dissertation von 1923 (Congruences rectilignes qui sont en meme temps \(W\) et de Ribaucour, abgedruckt im Journ. de l’Éc. Pol.) beschäftigt. Bei einer \(W\)-Kongruenz entsprechen sich bekanntlich die Asymptotenlinien auf den beiden Brennflächenmänteln. Die Strahlen einer Ribaucourschen Kongruenz sind parallel zu den Normalen einer Fläche, die der Ausgangsfläche mit Orthogonalität der korrespondierenden Linienelemente zugeordnet ist; charakteristisch ist auch die Bedingung, daß die Developpablen die Mittelfläche in einem konjugierten System schneiden. Die Bestimmung einer die Eigenschaften beider Arten vereinigenden Kongruenz \(WR\) läßt sich, wie bereits Vaulot gezeigt hat, auf das folgende Paar von Differentialgleichungen zurückführen: \[ (1) \quad \xi_{uv}=M\xi, \qquad (2)\quad \xi_{uu}=\omega \xi_{vv}+\sigma \xi, \] das, wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, drei linear- unabhängige Lösungen \(\xi_1, \xi_2, \xi_3\) besitzt. Man kann auch von der Moutardschen Gleichung (1) ausgehen und (2) durch die Bedingung ersetzen, daß die Determinante \[ \Delta=\left| \xi_1, \;\frac{\partial \xi_1}{\partial u}, \;\frac{\partial \xi_1}{\partial v}\right| \] ebenfalls ein Integral von (1) sein soll.
Der Verf. behandelt nun die besonderen Lösungen, die sich auf Grund der Forderung ergeben, daß vier linear-unabhängige Integrale der Differentialgleichungen (1), (2) existieren. Die Gleichung (2) nimmt dann die Form \[ U \xi_{uu}+V \xi_{vv}=N \xi \] an, wobei \(U\) und \(V\) Funktionen von \(u\) bzw. von \(v\) allein sind. Zwei Fälle bieten sich dar. Sind \(V\) und \(V\) Konstanten, so gelangt man zur allgemeinen Differentialgleichung (Darboux, Leçons sur la théorie gén. des surf. 2, Chap. IX). Sind die genannten Größen nicht konstant, so führt die Aufgabe auf das von Koenigs behandelte Problem: Auffindung der \(ds^2\) vom Rotationsflächentypus, die auf die Liouvillesche Form gebracht werden können (Note II am Schluß von Bd. 4 des Darbouxschen Werkes). Die Erledigung einer Reihe von Einzelfragen knüpft sich an jeden der beiden Fälle.
Full Text: Numdam EuDML