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Les espaces à connexion conforme. (French) JFM 50.0493.01

Ausführliche Ableitung und Erweiterung der Resultate, die Verf. zuerst in den C. R. angekündigt hat (174, 857-860; 1923).
Eine Hypersphäre im kartesischen \(X\)-Raume von \(n\) Dimensionen hat zur Gleichung \[ x_0(X_1^2+\cdots+X_n^2)-2(x_1 X_1+\cdots+x_n X_n)-2x_{n+1}=0, \] also jeweilig die homogenen Koordinaten \(x_0, \dots, x_{n+1}\); sie reduziert sich auf einen Punkt, wenn \[ \Phi \equiv x_1^2+\cdots+x_n^2+2x_0 x_{n+1}=0 \] ausfällt. Die konformen Transformationen lassen sich durch die linearen Substitutionen der \(x_\nu\) definieren, die \(\Phi\) unverändert lassen; die zugehörige Invariantentheorie liefert die Geometrie des konformen Raumes.
\(X \equiv(x_0, \dots, x_{n+1})\) stellt eine Hypersphäre dar; das skalare Produkt zweier Hypersphären \(X, Y\) ist gegeben durch \[ XY=YX=\frac{1 2}\sum y_i \frac{\partial \Phi} {\partial x_i}, \] was bei einer konformen Transformation unverändert bleibt. Betrachtet man jetzt \(n\) beliebige, zueinander orthogonale Hypersphären \(A_m\) und die. zwei ihnen gemeinsamen Punkte \(A_0, A_{n+1}\), und normiert die zugehörigen Koordinaten zu \[ A_1^2=\cdots=A_n^2=A_0 A_{n+1}=1, \] so hat man ein verabredungsgemäß stets so zu wählendes Bezugsystem \(A\) vor sich, in dem dann jede Hypersphäre \(X\) ausgedrückt sein wird durch ein lineares Aggregat der \(A_\mu(\mu=0, \dots,n+1)\). Liegt nun ein bewegliches solches Bezugsystem vor, so mit infinitesimalen Koeffizienten \(\omega_\mu^\nu\) offenbar \[ dA_\mu=\omega_\mu^0 A_0+\cdots+\omega_\mu^{n+1} A_{n+1}, \] wobei freilich identisch \(A_idA_j+A_jdA_i=0\) sein muß. Die Bedeutung der einzelnen \(\omega_\mu^\nu\) läßt sich geometrisch verfolgen; man erhält einen “Raum von konformem Zusammenhange” dadurch, daß man \(\int dA_\mu=0\) für alle \(\mu\) verlangt, sobald das Integral über eine beliebige geschlossene Kurve genommen wird. Die zugehörigen Bedingungen für die \(\omega_\mu^\nu\) werden auf gestellt und ausführlich untersucht; bemerkenswert ist dabei u. a. der Satz von der Erhaltung der Krümmung, analog zu den Verhältnissen in einer Riemannschen Metrik. Die \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten konformen Zusammenhangs \(V_n\) werden nun klassifiziert, gewisse Normalformen werden hervorgehoben, und zuletzt noch beliebige Teilmannigfaltigkeiten \(V_p'\) mit \(p<n\) in \(V_n\) betrachtet, die ein eigenes Riemannsches Linienelement \(ds\) aufweisen. Es gilt dann der folgende Satz: wenn das \(ds_2\) von \(V_p'\) nicht etwa schon durch eine Summe von \(p'<p\) Quadraten ausdrückbar ist, so stellt \(V_p'\) selbst eine Mannigfaltigkeit \(V_p\) von konformem Zusammenhang dar.

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