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Spazi riemanniani luoghi di varietà totalmente geodetiche. (Italian) JFM 50.0498.02
Einen Riemannschen Raum \(V_m\), der einem \(V_n(n>m)\) angehört, nennt man (total-) geodätisch, wenn alle geodätischen Linien von \(V_m\) auch solche für \(V_n\) sind. Ein Raum \(V_n\) enthält im allgemeinen keine geodätische \(V_m(m>1)\). Man sucht die Raume \(V_n\) die \(\infty^{n-m}\) geodätische \(V_m\) enthalten. Wenn \(m=n-1\) ist, so ist die Richtung der orthogonalen Trajektorie der \(\infty^1 V_{n-1}\) in jedem Punkte eine Hauptrichtung (nach Ricci).
Wenn \(m< n-1\) ist und wenn die \(V_m\) keine isometrische Korrespondenz in sich selbst zulassen, so läßt sich das \(ds^2\) von \(V_n\), in folgender Form schreiben: \[ ds^2=\sum_1^m\;_{ik}a_{ik}(x_1, \dots, x_m)dx_i dx_k +\sum_{m+1}^n\;_{jl}a_{jl}(x_1, \dots, x_n)dx_j dx_l. \] Sie sagt aus, daß die Lage \(S_{n-m}\) (d.h. \((n-m)\)-Vektor), die in einem Punkte \(P\) auf \(V_m\) senkrecht steht (Ort der von \(P\) ausgehenden und zu \(V_m\) orthogonalen Richtungen), invariant ist bei einer Parallelübertragung (nach Levi-Civita) längs eines geschlossenen Zyklus durch \(P\) in \(V_m\).
Es folgen weitere geometrische Eigenschaften dieser Räume und jener Räume, die sich dadurch auszeichnen, daß sie zwei sich in jedem Punkte senkrecht schneidende Systeme von geodätischen Mannigfaltigkeiten besitzen.

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References:
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[4] E. Bompiani,a)Studi sugli spazf curvi: Del parallelismo in una varietà qualunque [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti t. LXXX, parte 2a (1920-1921), p. 355–386 e 839–859];b) Studi sugli sfazi curvi: La seconda forma fondamentale di una V m in Vn [ibidem; t. LXXX, parte 2a (1920–1921), p. 1113–1145].
[5] Ho dato il risultato di questo § in una Nota Lincèa dallo stesso titolo della presente [Ren. diconti della R. Accademia dei Lincei, serie V degli Atta, vol. XXXII, 2semestre 1923, pp, 14–15].
[6] Vedasi per es.L. Bianchi,Lezioni di Geometria differenziale, 2a edizione, vol. I, (Pisa, Spoerri, 1902), p. 73.
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[8] l. c. S) a), p. 839 e seg.
[9] l. c. 5)a), p. 842.
[10] l. c. 4), n1.
[11] A. Voss,Zur Theorie des Riemann’ schenKrümmungsmasses [Mathematische Annalen, Bd. XVI (1880), pp. 571–576]. · JFM 12.0570.01 · doi:10.1007/BF01446226
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