×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les variété à connexion projective. (French) JFM 50.0500.02
Eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit heißt projektiv- zusammenhängend, wenn jedem ihrer Punkte ein \(n\)-dimensionaler projektiver Raum zugeordnet ist, der den Punkt enthält, und wenn außerdem das Gesetz gegeben ist, das die gegenseitige Lage der projektiven Bäume bestimmt die zwei unendlich benachbarten Punkten der Mannigfaltigkeit zugeordnet sind. Vermöge dieses Gesetzes lassen sich die projektiven Räume, die den einzelnen Punkten einer Kurve in der Mannigfaltigkeit zugeordnet sind, sukzessive auf einen einzigen projektiven Raum beziehen (“abwickeln”). Bei dieser Abwickelung entspricht jedem infinitesimalen geschlossenen Weg in der Mannigfaltigkeit eine infinitesimale projektive Transformation die die Krümmung der projektiv-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit definiert, ordnet diese Transformation für jeden derartigen Weg den Ausgangspunkt des Weges sich selbst zu, so ist die Mannigfaltigkeit ohne Torsion. Eine Kurve in der projektiv-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit heißt eine geodätische Linie, wenn ihr bei der erklärten sukzessiven Abwicklung der ihren Punkten zugeordneten projektiven Bäume eine Gerade entspricht. Die geodätischen Linien sind die Integralkurven eines Systemes von Differentialgleichungen zweiter Ordnung von besonderer Form. Umgekehrt läßt sich jedem System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, das diese Form hat, eindeutig ein auf invariante Weise ausgezeichneter projektiver Zusammenhang zuordnen, dessen geodätische Linien die Integralkurven des Systems sind, der zugehörige normale projektive Zusammenhang. Insbesondere wird der normale projektive Zusammenhang bestimmt, der einem gegebenen Bogenelementquadrat \(ds^2\) entspricht; dieser ist dann und nur dann der eines projektiven Raumes, wenn der Riemannsche Raum mit dem gegebenen \(ds^2\) konstante Krümmung hat.
Im zweiten Teile der Arbeit betrachtet der Verf. die dreidimensionale Mannigfaltigkeit der Linienelemente der Ebene. Ordnet man jedem Linienelemente eine projektive Ebene zu, die das Element enthält, und gibt das Gesetz an, das die gegenseitige Lage der beiden projektiven Ebenen bestimmt, die zwei unendlich benachbarten Linienelementen zugeordnet sind, so erhält man eine projektiv-zusammenhängende Elementmannigfaltigkeit, wenn das Gesetz so beschaffen ist, daß es jeden Elementverein wieder in einen Elementverein und insbesondere jeden Punkt wieder in einen Punkt überführt. Die analog wie oben definierten geodätischen Linien der Elementmannigfaltigkeit genügen einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Umgekehrt läßt sich jeder gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung eine Elementmannigfaltigkeit mit ganz bestimmten, auf invariante Weise ausgezeichneter projektiven Zusammenhang zuordnen, dessen geodätische Linien die Integralkurven der Differentialgleichung sind. Dieser Zusammenhang heißt der zugehörige normale projektive Zusammenhang. Die von A. Tresse (Leipzig 1896; F. d. M. 27, 254 (JFM 27.0254.*)) entwickelte Theorie der Differentialinvarianten einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung bei der Gruppe der Punkttransformationen läßt sich geometrisch als Studium der Eigenschaften der Elementmannigfaltigkeiten mit normalem projektiven Zusammenhang auffassen. Einer derartigen Elementmannigfaltigkeit entspricht dualistisch eine ebensolche. Die zweidimensionalen (Punkt-) Mannigfaltigkeiten mit normalen projektiven Zusammenhang sind ein spezieller Fall dieser Elementmannigfaltigkeiten. Schließlich werden einige Integralinvarianten aufgezählt und mögliche Anwendungen der Theorie sowie ihre Verallgemeinerung auf \(n\) Dimensionen angedeutet.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML