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Geometries of paths for which the equations of the paths admit a quadratic first integral. (English) JFM 50.0503.01
Veblen und Thomas haben untersucht, wann die Differentialgleichungen der geodätischen Linien einer symmetrischen affinen Übertragung (= geometry of paths) ein quadratisches erstes Integral \(g_{ij} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds}=C\) besitzen. In dieser Arbeit wird ausgegangen von einem gegebenen ersten Integral, und es werden daraus die \(\Gamma_{jh}^i\) bestimmt. Sodann wird dasselbe Problem gelöst für ein erstes Integral von der Form \(e^{\int \varphi_\alpha dx^\alpha} g_{ij} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds}=C\). Schließlich wird gezeigt, daß zwei Größen \(g_{ij}\) und \(a_{ijk}\), beide symmetrisch in \(i\) und \(j\), eine symmetrische affine Übertragung bestimmen, die ein erstes Integral von der erstgenannten Form besitzt, und daß umgekehrt durch eine solche Übertragung \(n {n+1 \choose 2}-{n+2 \choose 3}\) der Bestimmungszahlen von \(a_{ijk}\) bestimmt werden können, wenn man über die übrigen \({n+2 \choose 3}\) frei verfügt. \(a_{ijk}\) ist dabei definiert durch \[ \Gamma_{ij}^l g_{lk}- \left\{ \begin{matrix} ij \\ l \end{matrix} \right\} g_{lk}=2a_{ijk}-a_{ikj}-a_{jki}. \]

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
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