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Riemann spaces conformal to Einstein spaces. (English) JFM 50.0504.01

Unter “Einstein space oder \(K_n\)” versteht der Verf. eine \(V_n\) (Riemannsche Mannigfaltigkeit), in welcher die gefaltete Krümmungsgröße bis auf einen Zahlenfaktor dem Fundamentaltensor gleich ist, also eine Mannigfaltigkeit mit unbestimmten Hauptrichtungen im Riccischen Sinne. Es wird die Frage aufgeworfen, wann sich eine \(V_n\) auf eine \(K_n\) konform abbilden läßt und in wieviel verschiedene Weisen dies geschehen kann. Es werden zunächst die notwendigen und hinreichenden Bedingungen abgeleitet. Sodann wird die speziellere Frage beantwortet, wann es gelingt, eine \(V_n\) koform auf eine \(L_n\), d. i. eine \(K_n\) mit verschwindender skalarer Krümmung abzuleiten. Es schließt sich eine Untersuchung über die konforme Abbildung der \(K_n\) untereinander und auf die \(L_n\) an. Die Arbeit schließt mit einigen Anwendungen für den Fall \(n = 4\). Dabei wird folgender merkwürdiger Satz bewiesen: Ist für \(n = 4 C_{\alpha ji}^{\dots k}\) die Konformkrümmungsgröße und \(v^\alpha C_{\alpha ji}^{\dots k}=0\), so ist entweder \(C_{\alpha ji}^{\dots k}=0\) oder \(v^\alpha\) liegt in einer Nullrichtung.

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References:

[1] H. Weyl, Math. Zeitschr.2 (1918), p. 384–411, insb. p. 404. · JFM 46.1301.01
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[8] G. Ricci and T. Levi-Civita, Math. Ann.51 (1901), p. 143.
[9] The corresponding theorem for two Einstein spaces of zero scalar curvature holds provided the map be proper in the sense of § 7. 2.
[10] Schouten, loc. cit. 1), Math. Zeitschr.2 (1918), p. 84.
[11] The writer is indebted to Professor J. A. Schouten for this elegant proof of the lemma.
[12] E. Kasner, Amer. J. Math.43 (1921), pp. 20–28, and pp. 219–220; Math. Ann.85 (1922), p. 227–236. · JFM 48.1039.04
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