×

zbMATH — the first resource for mathematics

The geometry of paths. (English) JFM 50.0504.02
Unter “affine geometry of paths” verstehen die Verf. die Geometrie einer symmetrischen affinen Übertragung, unter “projective geometry of paths” die Geometrie, die entsteht, wenn eine Transformationen der Übertragung zugelassen werden, die die geodätischen Linien (paths) invariant lassen. Die Verf. zeigen, wie sich bei einer symmetrischen affinen Übertragung Normalkoordinaten einführen lassen, die in die bekannten Riemannschen übergehen, wenn die Übertragung eine Riemannsche wird. Für die Normalkoordinaten werden Reihenentwicklungen angegeben.
Wird die Differentialgleichung der geodätischen Linien in diesen Koordinaten geschrieben unter Verwendung eines natürlichen Parameters, so sind die Koeffizienten \(C_{jk}^i\) Bestimmungszahlen einer Größe dritten Grades, Funktion des Ortes. Wird diese Funktion in eine Reihe nach Normalkoordinaten entwickelt, so sind die Koeffizienten ebenfalls Bestimmungszahlen von Größen \(A_{jk \alpha}^i,\frac 12,A_{jk \alpha,\beta}^i,\dots\) Diese Größen \(A\), die “normal tensors”, sind die Ableitungen von \(C_{jk}^i\) nach den Normalkoordinaten im Nullpunkt. Überhaupt liefert die Ableitung einer Größe nach Normalkoordinaten im Nullpunkt stets wieder eine Größe. Diese Ableitung ist aber nur für die erste Ordnung mit der kovarianten Ableitung identisch, bei den höheren Ordnungen ist die Differenz eine Funktion der niederen Ableitungen und der Größen \(A\). Durch Differentiation der geodätischen Linien gelangt man in derselben Weise zu Größen \(C_{jk \alpha}^i,C_{jk \alpha \beta}^i\). Die Größen \(A\) stehen in naher Beziehung zur Krümmungsgröße und ihren kovarianten Ableitungen.
Der Rest der Arbeit ist der Theorie der ersten Integrale gewidmet. Es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen angegeben für die Existenz eines homogenen ersten Integrals \(k\)-ter Ordnung. Die Integrale erster und zweiter Ordnung werden dann näher untersucht, und es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen angegeben, denen die \(F\) zu genügen haben, damit solche Integrale existieren.

MSC:
53-XX Differential geometry
Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI