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Der Ricci-Kalkül. Eine Einführung in die neuere Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie. (German) JFM 50.0588.01

Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 10. Berlin: J. Springer. X u. 312 S. gr. \(8^\circ\).
Das Buch von J. A. Schouten über den absoluten Differentialkalkül stellt eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie dar, bei der großes Gewicht auf den Ausbau des analytischen Apparates gelegt ist. Der Verf. sucht den “Ricci-Kalkül” so auszugestalten, daßdieses Werkzeug sich ohne jede Modifikation zur unmittelbaren Anwendung auf jede Frage eignet, zu der das Gebiet Anlaßgibt. Zu diesem Zwecke bringt er an der ursprünglichen Riccischen Schreibweise eine Reihe von wohldurchdachten Änderungen an, die teils der Abkürzung und Präzisierung dienen, teils eben von der Rücksicht diktiert sind, schon in der Schreibweise Vorsorge für alle möglichen in der Praxis vorkommenden Fälle zu treffen. Daßüber dem Instrumente nicht die Sache selbst vernachlässigt wird, dafür bürgt der eigene Anteil des Verfassers an der neuesten Entwicklung des Raumbegriffes, die dann auch in seinem Werke gebührend zur Geltung kommt.
Der erste Abschnitt ist dem algebraischen Teile des Kalküls, also der Tensoralgebra, gewidmet. Hier bewegt sich die Darstellung der Hauptsache nach in bekannten Bahnen, wie es nicht gut anders sein kann. Als Besonderheiten seien etwa genannt: die geometrische Deutung der einzelnen Größen bei verschiedenen zugrunde gelegten Gruppen und die vom Verf. auch sonst betrachtete “Änderung des kovarianten Maßes”.
Im zweiten Abschnitt, der dem analytischen Teil des Kalküls bringt, wird zunächst die allgemeinste lineare Übertragung behandelt. Eine Parallelübertragung heißt linear, wenn das zugehörige (kovariante) Differential eine lineare Funktion des Linienelementes ist, für das Differential einer Summe und eines allgemeinen Produktes die gewöhnliche Regel gilt, das Differential einer Größe derselben Art ist, und endlich das Differential eines Skalars gleich dem gewöhnlichen Differential ist. Eine solche allgemeine lineare Übertragung läßt sich festlegen durch Angabe dreier Größen: einer Größe \(C_{\mu \lambda}^{..\nu}\), die ergibt, inwiefern sich die kontravarianten und kovarianten Parameter \(\Gamma_{\lambda mu}^\nu\) und \(\Gamma_{\lambda \mu}^{\prime\nu}\) unterscheiden; einer Größe \(S_{\lambda \mu}^{..\nu}\) (E. Cartans “Torsion”), die angibt, inwiefern die kontravarianten Parameter asymmetrisch sind; und einer Größe \(Q_{\mu}^{\dot\lambda \nu}\), die der kovariante Differentialquotient eines beliebigen Tensors \(g^{\lambda \nu}\) ist, dessen Rang gleich der Anzahl \(n\) der Dimensionen der behandelten Mannigfaltigkeit ist. Durch Spezialisierung dieser drei Größen entstehen besondere Übertragungen, im ganzen (die allgemeinste eingeschlossen) 27. Weiter werden vor allem, erst für die allgemeinste lineare Übertragung dann für die wichtigsten Spezialfälle die Krümmungsgrößen und ihre Eigenschaften wie die Integralsätze von Gaußund Stokes besprochen.
Der dritte Abschnitt enthält die Anwendungen des Kalküls auf die Integrabilitätsbedingungen von Systemen von Differentialgleichungen und anschließend eine Behandlung des Pfaffschen Problems.
Der vierte Abschnitt gibt nach kurzer Betrachtung der projektiven Eigenschaften einer affinen Übertragung (des affin- zusammenhängenden Raumes” im Weylschen Sinne) eine vollständige Theorie der \((n - 1)\)-dimensionalen und der \(m\)- dimensionalen \((1 < m < n-1)\) Mannigfaltigkeiten in einem solchen Raum. Die erste dieser Theorien bildet eine natürliche Verallgemeinerung der affinen Differentialgeometrie der Flächen im gewöhnlichen Raum.
Im fünften Abschnitt trifft der Verf. aus der Geometrie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten eine solche Auswahl daßdieser Abschnitt und die “Grundzüge der mehrdimensionalen Differentialgeometrie” von D. J. Struik (Berlin 1922, F. d. M. 48, 841 (JFM 48.0841.*)) einander möglichst ergänzen. Zunächst wird die konforme Transformation der Riemannschen Übertragung und die Konformkrümmung, sodann hauptsächlich die Theorie der \(m\)- dimensionalen Mannigfaltigkeiten und der \(n\)-fachen Orthogonalsysteme im \(n\)-dimensionalen Riemannschen Raum betrachtet. Endlich bespricht der Verf. noch die infinitesimalen bahntreuen und konformen Transformationen des Fundamentaltensors.
Der sechste Abschnitt ist dem metrischen Raum von Weyl (der “Weylschen Übertragung”) gewidmet. Den Hauptgegenstand dieses Abschnittes bildet die Krümmungstheorie der Kurven und mehrdimensionalen Mannigfaltigkeiten in einem solchen Raum. Daneben werden auch die bahntreuen und konformen Transformationen der Weylschen Übertragung untersucht.
Invariantentheoretischer Natur ist der letzte Abschnitt. Hier bringt der Verf. die vollständige invariante Zerlegung einer kovarianten oder kontravarianten Größe beliebigen Grades bei der affinen Gruppe und beschäftigt sie anschließend auch mit der Zerlegung einer allgemeinen Größe bei der orthogonalen Gruppe.
Jedem Abschnitt sind Aufgaben beigegeben, in denen vielfach die Ergebnisse von Originalarbeiten verschiedener Autoren verwendet worden sind. Die Lösungen sind am Ende des Buches zusammengestellt wo man auch ein Literaturverzeichnis findet, das die Liste von Struik (a. a. O.) in dankenswerter Weise ergänzt und fortführt.

Citations:

JFM 48.0841.*
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Full Text: EuDML