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Les récentes généralisations de la notion d’espace. (French) JFM 50.0589.01
Die vorliegende Arbeit gibt eine zusammenfassende. Darstellung der vom Verf. herrührenden Verallgemeinerung des Raumbegriffes. Nach einer geschichtlichen Einleitung, die hauptsächlich dem Kleinschen Begriff des Raumes als Träger einer Fundamentalgruppe sowie dem des Riemannschen Raumes gewidmet ist, setzt der Verf (vorwiegend am Fall einer Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum) seine Auffassung der Parallelübertragung von Levi-Civita und im Anschluß daran den allgemeinen Begriff eines Raumes von euklidischem Zusammenhang auseinander. Eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit wird zu einem solchen Raum, wenn jedem ihrer Punkte ein \(n\)-dimensionaler euklidischer Raum zugeordnet wird, der den Punkt enthält, und wenn außerdem das Gesetz gegeben wird, das die gegenseitige Lage der beiden euklidischen Räume bestimmt, die zwei unendlich benachbarten Punkten der Mannigfaltigkeit zugeordnet sind. In einem euklidisch-zusammenhängenden Raum gehört zu jedem von einem Punkte ausgehenden infinitesimalen geschlossenen Wege eine infinitesimale Bewegung, die sich im allgemeinen aus einer Rotation und einer Translation zusammensetzt; in jener drückt sich die Krümmung in dieser die Torsion des Raumes aus. Bei gegebenem Quadrat des Bogenelementes gibt es einen einzigen euklidischen Zusammenhang ohne Torsion, den des zugehörigen Riemannschen Raumes. Die Eigenschaft der geodätischen Linien eines mit Torsion begabten euklidisch-zusammenhängenden Raumes, stationäre Länge zu besitzen, ist daran geknüpft, daß diese Linien in jedem ihrer Punkte senkrecht zur Richtung der Torsion stehen. Der Verf. gibt zwei interessante Beispiele von euklidisch- zusammenhängenden Räumen mit Torsion, deren geodätische Linien sämtlich stationäre Länge haben; eine davon ist der dreidimensionale elliptische Raum mit den beiden Cliffordschen Parallelismen. Krümmung und Torsion genügen einem Erhaltungssatz, der geometrisch formuliert wird. Die Bewegungen, die allen möglichen infinitesimalen geschlossenen Wegen eines euklidisch-zusammenhängenden Raumes zugeordnet sind, welche von einem Punkte ausgehen, bilden eine Gruppe, die (“Holonomie”-)Gruppe des Raumes; diese ist für jeden Punkt des Raumes dieselbe.
Analog wie im vorstehenden die euklidisch-zusammenhängenden Raume definiert wurden, kann man auch Raume mit affinem (projektivem, konformem usw.) Zusammenhang erklären. Wie ferner bei gegebenem Quadrat des Bogenelementes ein einziger euklidischer Zusammenhang ohne Torsion existiert, so gibt es bei gegebenen Differentialgleichungen der geodätischen Linien unter den unendlich vielen zugehörigen projektiven Zusammenhängen einen einzigen in invarianter Weise ausgezeichneten, den des Normalraumes mit projektivem Zusammenhang. Entsprechende Verhältnisse bestehen bei den konformzusammenhängenden Räumen hinsichtlich der Differentialgleichungen der Linien von der Länge Null.
Weiter wird das Problem behandelt, wie man einer Mannigfaltigkeit, die in einen affinen (projektiven, konformen) Raum eingebettet ist, denjenigen affinen (projektiven, konformen) Zusammenhang aufprägen kann, der über die Beziehungen zum umgebenden Raum am einfachsten Rechenschaft gibt. Hierfür sei auf die einschlägigen Noten von Cartan (C. R. 178, 1924) verwiesen.
Schließlich erörtert der Verf. noch die Frage der Unterordnung verschiedenartig zusammenhängender Raume. Während z. B. ein affin-zusammenhängender Raum stets als ein spezieller projektiv-zusammenhängender angesehen werden kann, läst umgekehrt ein projektiv-zusammenhängender Raum dann und nur dann einen affinen Zusammenhang zu, der als projektiver Zusammenhang betrachtet mit dem gegebenen zusammenfallt, wenn seine Gruppe eine (Hyper-)Ebene invariant läßt. Entsprechendes gilt auch in den anderen Fällen.

Subjects:
Siebenter Abschnitt. Relativitätstheorie und Theorie der Gravitation.
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