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Sur un problème simple de mécanique céleste. (French) JFM 50.0616.01

Der Verf. behandelt die Differentialgleichungen der Hillschen intermediären Mondbahn. Bei dieser wird bekanntlich nicht nur die Exzentrizität der Sonnenbahn, sondern auch die Sonnenparallaxe vernachlässigt.
Sind \(x, y, z\) die rechtwinkligen Koordinaten des Mondes bezogen auf ein im Raume festes Achsenkreuz, ferner \(l_0, a\), und \(n\) willkürliche Konstanten, die durch die Relation \[ f \cdot(M_0+M)=(n^2+\tfrac12 n^{\prime 2})a^3 \] (\(M_0\), \(n'\) Masse und Winkelgeschwindigkeit der Erde, \(M\), \(n\) die entsprechenden Größen für den Mond) aneinander gebunden sind, so setzt der Verf. \[ x+iy=a(1+\xi+\eta)e^{iN}, \quad x-iy=a(1+\xi-\eta)e^{-iN}, \quad iz=a \zeta, \]
\[ \frac{a}{r}=1+\varrho, \quad N=nt+l_0 \] und bestimmt die Differentialgleichungen der \(\xi, \eta, \zeta\), wobei \(N\) als unabhängige Veränderliche gewählt wird. Durch Heranziehung des Energieintegrals werden die Differentialgleichungen, unter der Voraussetzung, daß \(\xi, \eta, \zeta\) klein bleiben, in eine für die Rechnung geeignetere Form gebracht.
Es seien nun \(G = gN + G_0\), \(H = hN + H_0\) (\(G_0, H_0\) beliebig), wo die Konstanten \(g, h\) nachträglich noch festgelegt werden, und \[ e_1=\frac{\varepsilon 2}e^{iG}, \;e_{-1}=\frac{\varepsilon}{2}e^{-iG},\;\gamma_1=\frac{\gamma 2}e^{iH},\;\gamma_{- 1}=\frac{\gamma 2}e^{-iH} \] und \(M_n\) irgend ein Monom von der Form \(\varepsilon_1^{p_1}\varepsilon_{-1}^{p_{- 1}}\gamma_1^{q_1}\gamma_{-1}^{q_{-1}}\).
Dann sucht der Verf. die besagten Differentialgleichungen formal dadurch zu befriedigen, daß er für die Unbekannten \(\xi, \eta, \zeta, \varrho, g, h\) Reihenentwicklungen \[ \xi=\sum \xi_n, \;\eta=\sum \eta_n M_n, \dots, \;g=g_0+\sum g_n' M_n', \;h=h_0+\sum h_n' M_n', \] \(M_n' \) ist von der Form \(\varepsilon_1 \varepsilon_{-1})^p (\gamma_1 \gamma_{-1}^q) \), ansetzt und die Koeffizienten gleicher Monome vergleicht, was tatsächlich gelingt. Es werden die Entwicklungen bis zu Gliedern dritter bzw. vierter Ordnung angegeben, und es wird gezeigt, daß sie sich für \(n'=0\) in bekannte Formeln der Keplerschen Bewegung transformieren lassen. Schließlich werden noch die Änderungen der Formeln in Betracht gezogen, die erforderlich sind, wenn Störungen hinzutreten.
Der Verf. behandelt nur die formale Seite seiner Methode und empfiehlt es dem Analytiker, die Brauchbarkeit der Methode zu untersuchen.

MSC:

70F15 Celestial mechanics
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Full Text: DOI Numdam EuDML