×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur le calcul differentiel absolu. (French) JFM 50.0673.01
Verf. hat bereits in mehreren früheren Arbeiten darauf hingewiesen, daß die Regeln der gewöhnlichen Differentiation bei passenden Definitionen erhalten bleiben, wenn statt der exakten Differentiale \(dx_1, \dots, dx_n\) vorgeschriebene Pfaffsche Formen \(d \omega_1, \dots, d \omega_n\) genommen werden. Es werden nunmehr homogene quadratische Ausdrücke \[ \varphi=\sum_{\alpha \beta}g_{\alpha \beta}\omega^\alpha \omega^\beta; \;\alpha, \beta=1, \dots, n \] in solchen Formen betrachtet; die Transformation der Variablen ist hier gegeben durch \[ d \omega^{\prime i}=\sum_\alpha \lambda_\alpha^i d \omega^\alpha, \] wobei die \(\lambda_\alpha^i\) an sich beliebig sein können. Werden nun die Rotationen in beiden betrachteten Pfaffschen Systemen mit \(\tau_{\alpha, \beta, \gamma}, \tau_{ikh}\) bezeichnet, und wird \[ \overline{d} X_\alpha^i=dX_\alpha^i -\sum_{\beta \gamma} \tau_{\alpha, \beta, \gamma} X_\beta^i d \omega \gamma-\sum_{kh} \tau_{ikh}'X_\alpha^k d \omega^{\prime h} \] als “Pfaffsche Differentiation” definiert, so besitzt letztere Operation wiederum die Eigenschaften einer gewöhnlichen Differentiation, insbesondere für die Zusammensetzung solcher Operationen.
Man kann nunmehr Christoffelsche Symbole erster und zweiter Art einführen, mit deren Hilfe sich die kovarianten Krümmungstensoren ganz analog bilden lassen, wie in der klassischen Theorie, die \(d \omega^1, \dots, d \omega^n\) als exakte Differentiale voraussetzt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Gallica EuDML