Sulla costruzione delle funzioni algebriche di due variabili possedenti una data curva di diramazione. (Italian) JFM 50.0674.01

Enriques, F.

Annali di Mat. (4) 1, 185-198 (1924).

Eine Fragestellung, die Verf. bereits 1912 in den C. R. aufgeworfen und teilweise beantwortet hat, wird hier in aller Ausführlichkeit betrachtet und erledigt. Es handelt sich um folgendes Problem: durch Projektion einer gegebenen algebraischen Fläche \(F\) von einem Punkte \(O\) (im \(R_3\)) aus auf eine entsprechend vielfache Ebene erhält man in der letzteren, neben der Projektion der – übrigens nicht als Rückkehrkurve vorauszusetzenden – Doppelkurve \(C'\) der Fläche, eine eigentliche Verzweigungskurve \(C\), Projektion des Tangentialkegels von \(O\) auf \(F\). Ist \(n\) die Anzahl der Schnittpunkte von \(F\) mit den Geraden durch \(O\), außer etwa \(O\) selber, und \(\pi\) das Geschlecht der ebenen Schnitte von \(F\) durch \(O\), so findet man für den Grad \(m\) von \(C\): \[ m=2n+2 \pi-2. \] Nicht jede Kurve \(m\)-ten Grades kann jedoch einen solchen Ursprung aufweisen; denn die Doppeltangenten von \(O\) an \(F\) liefern notwendig Doppelpunkte, die dreipunktig berührenden Tangenten aber Spitzen von \(C\).
Ist nun in der Ebene \(z=0\) eine Kurve \(C\) (geraden) \(m\)-ten Grades mit einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten und Spitzen gegeben, so entsteht die Frage, ob ihr eine entsprechende Fläche \(F\) im obigen Sinne zugeordnet werden kann. Zur Beantwortung wird durch den Nullpunkt das Büschel \(y=tx\) gelegt, und man betrachte die Riemannschen Flächen \(R_t\) zu \(t\), die die \(m\) Schnittpunkte des zugehörigen Strahls mit \(C\) zu Verzweigungspunkten haben; für jeden Weg, der in der \(t\)-Ebene zu einem ausgezeichneten \(t\)-Wert \(t_0\) führt, hat man die zugehörigen Paare der Substitutionen von \(R_t\) in der Nachbarschaft von \(t_0\) zu prüfen; zu jedem \(t_0\) das einer Tangente von \(O\) an \(C\) entspricht, ist die Identität jener beiden Paare zu verlangen; zu jedem \(t_0\) eines Doppelpunktes von \(C\) mußÜbereinstimmung in je einem der Zweige herrschen, zu jedem \(t_0\) einer Spitze völlige Verschiedenheit aller Zweige. Läßt sich ein \(R_t\) der verlangten Art wirklich angeben, so kann mit seiner Hilfe die zugehörige Fläche \(F\) explizit bestimmt werden.

Reviewer: Müntz, Prof. (Leningrad)

JFM Section:

Nachträge. Fünfter Abschnitt. Geometrie.

References:

[1]	Cfr.Severi: « Atti R. Accad. Torino », 37 (1902).
[2]	Cfr.Enriques-Chisini,Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche. L. 5, § Vol. III, pag. 363. · Zbl 0009.15904