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Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz. (German) JFM 51.0091.09
Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz wurde durch Skolem für Polynome, die von einer Variabeln und einem Parameter abhängen, im Sinne asymptotischer Abschätzungen ergänzt und verschärft. Verf. gibt eine Verschärfung dieser Abschätzungen und zugleich ihre Übertragung auf den Fall von beliebig vielen Veränderlichen und Parametern. Für im Bereich der rationalen Zahlen irreduzible Polynome \(F(x, t)\) erhält er insbesondere das Resultat: Bezeichnet \(N(\nu)\) die Anzahl der ganzen rationalen, positiven Werte \(t_0<\nu\), für die \(F(x, t_0\)) im Bereich der rationalen Zahlen zerfällt, so gibt es eine positive Zahl \(\alpha\), so daß gilt: \(N(\nu)=o(\nu^{1-\alpha})\), während Skolem nur \(N(\nu)=o(\nu)\) bewiesen hatte.
Bei Polynomen von mehr Veränderlichen ist der Fall absoluter Irreduzibilität und von Irreduzibilität in bezug auf den Parameterbereich getrennt zu betrachten, wobei der erstere sich als der weitaus einfachere erweist. Hier ergibt sich zugleich ein analytischer Beweis für gewisse unmittelbare Folgerungen aus dem algebraischen Kriterium für absolute Irreduzibilität (s. Noether, Math. Ann. 85, 26-33; F. d. M. 48, 81 (JFM 48.0081.*)).

MSC:
12E25 Hilbertian fields; Hilbert’s irreducibility theorem
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