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Resolvent sextics of quintic equations. (English) JFM 51.0093.04

Die bisher durch mühsame Rechnungen ermittelten klassischen Resolventen \(R\) einer Gleichung 5. Grades \(f_5=0\) mit den Wurzeln \(x_i\) werden hier einfacher hergeleitet. Jacobi fand zuerst eine solche \(R\), gab aber kein Detail. Cayley berechnete diese \(R\) vollständig, indem er davon ausging, daß ihre Wurzeln \(z_k\) Funktionen der \(x_i\)-Differenzen sind, und zunächst den Sonderfall \(x_5=0\) behandelte. Hier liegt die Tatsache zu Grunde, daß die Koeffizienten von \(R\) Seminvarianten von \(f_5\) sind, deren Ermittelung wiederum auf die der Invarianten einer \(f_4\) zurückkommt.
Von dieser Resolvente \(R\) gelangt man ohne weiteres zu der kovarianten Perrinschen Resolvente \(R'\) (F. d. M. 33, 110 (JFM 33.0110.*)).
Schreibt man \(ik\) für \(x_i x_k\), so liegt die Funktion \(12345=12+23+\cdots+51\) zu Grunde, die gegenüber der \(G_{60}\) der geraden Substitutionen nur sechs verschiedene Werte \(z_1\dots z_6\) annimmt. Es wird die Gleichung 6. Grades \(f_6=0\) für diese \(z\) aufgestellt.
Die Koeffizienten der \(f_6\) werden auf Grund eines Hilfssatzes als Invarianten einer \(f_4\) erkannt. Als ein weiteres Hilfsmittel wird die Kanonizante \(C\) dritten Grades der \(f_5\) in typischer Darstellung herangezogen.
Damit gewinnt man die kovariante Resolvente \(R'\) in der Gestalt \(Px+Qy\), wo \(P\), \(Q\) zwei Kovarianten der \(f_5\) sind. (II 4.)

Citations:

JFM 33.0110.*
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