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Über einige Folgerungen aus der Interpolationsformel von Lagrange. (Czech. French summary) JFM 51.0096.04
Sei \(f(z)\) ein Polynom vom Grade \(n\) und \(F(z)\) ein Polynom vom Grade \(n+1\), dessen Nullstellen voneinander verschieden sind. Wenn man dieses Polynom in der Interpolationsformel von Lagrange zweckmäßig wählt, so kann man beweisen;
1. ist \(n\) ungerade und \(|\;f(\zeta)\;|\leqq M\) im Intervalle \[ a-\frac{|\;a+b\;|}{2}-\frac{|\;a-b\;|}{2}\cos\frac{\pi}{2n+2}\leqq\zeta \leqq b+\frac{|\;a+b\;|}{2}+\frac{|\;a-b\;|}{2}\cos\frac{\pi}{2n+2}, \] so hat man im Intervall \(a\leqq\zeta\leqq b\) \[ \bigg|\;f'\bigg(\zeta+\frac{a+b}{2}\bigg)\;\bigg| <(n+1)\frac{4M}{(a-b)^2}; \]
2. ist \(n\) gerade und \(|\;f(\zeta)\;|\leqq M\) im Intervall \[ a-\frac{|\;a+b\;|}{2}-\frac{|\;a-b\;|}{2}\cos\frac{\pi}{2n}\leqq\zeta \leqq b+\frac{|\;a+b\;|}{2}+\frac{|\;a-b\;|}{2}\cos\frac{\pi}{2n}, \] so hat man im Intervall \(a\leqq\zeta\leqq b\) \[ \bigg|\;f'\bigg(\zeta+\frac{a+b}{2}\bigg)\;\bigg| <n\cdot\frac{4M}{(a-b)^2}. \]
3. Man kann einen dem Satz von V. Markov (Math. Ann. 77 (1916), besonders S. 258; F. d. M. 46, 415 (JFM 46.0415.*)-416) ähnlichen Satz beweisen.
4. Mit Hilfe eines einfachen Verfahrens kann man zur Betrachtung der trigonometrischen Polynome übergehen und beweisen, daß die Interpolationsformel von Riesz (Jahresbericht D. M. V. 23 (1914), 354-368; F. d. M. 45, 405 (JFM 45.0405.*)) sich an die Interpolationsformel von Lagrange anschließt.
5. Es werden Polynome von hyperbolischen Funktionen betrachtet.
6. Die Gültigkeit der Formel \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k+1} f(\varphi_k)\frac{\cos\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)\varphi} {\sin\dfrac{\varphi-\varphi_k}{2}}=f(\varphi),\;\varphi_k=\frac{2k+1}{2n+1}\pi, \] \[ k=1, 2, 3,\dots,2n+1, \] wird auf den von Faber (Math. Ann. 69, 417; F. d. M. 41, 448 (JFM 41.0448.*)) betrachteten Fall zurückgeführt.
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