On limits to the absolute values of the roots of a polynomial. (English) JFM 51.0098.04

Van Vleck, E. B.

Bulletin S. M. F. 53, 105-125 (1925).

Untersuchungen im Umkreis einer Montelschen Vermutung: Die \(p\) Wurzeln \(x_i\) vom kleinsten absoluten Betrag der Gleichung \[ 1+a_p x^p+\cdots+a_n x^n=0,\quad a_p\neq 0 \] genügen der Abschätzung \[ |\;x_i\;|\leqq\overset{\;\;p\hfill}{\sqrt{\frac{C_{p+k}^p} {|\;a_p\;|}}} \] Dabei ist \(k\) die Anzahl der nichtverschwindenden unter den Koeffizienten \[ a_{p+1},\dots a_n,\;\;\text{und}\;\;C_n^i= \frac{n(n-1)\cdots(n-i+1)}{i!} \] Die von Montel für \(p=2\) bewiesene Vermutung wird hier allgemein bewiesen, wenn \(p+k=n\). Dann wird die Schranke für geeignete Gleichungen erreicht. In allgemeinen Fällen gelingen nur gewisse Abschätzungen. (IV 4.)

Reviewer: Bieberbach, L., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 3. Theorie der algebraischen Gleichungen und Polynome.