×

zbMATH — the first resource for mathematics

Theorie der Abelschen Gruppen. II. Ideale Gruppen. (German) JFM 51.0115.01
In einer allgemeinen Abelschen Gruppe \(\mathfrak G\) brauchen die fundamentalen Zerlegungssätze der endlichen Abelschen Gruppen nicht mehr zu gelten. Das Ziel der Arbeit ist, durch Einführung “idealer” Elemente \(\mathfrak G\) zu einem Bereich zu erweitern, in dem diese Sätze wieder gültig sind. Es wird zunächst ein erweiterter Bereich \(\tilde{\mathfrak G}\) definiert, und zwar so, daß zu isomorphen \({\mathfrak G}\) stets isomorphe \(\tilde{\mathfrak G}\) gehören. Dabei ist \(\tilde{\mathfrak G}\) eine Gruppe, in der Untergruppen nach gewissen Gesetzen ausgezeichnet sind. Auf diese “idealen Gruppen” werden die im 1. Teile der Arbeit aufgestellten Begriffe übertragen. Wie bei den endlichen Abelschen Gruppen existiert stets eine eindeutig bestimmte Zerlegung von \(\tilde{\mathfrak G}\) in, zu den einzelnen Primzahlen gehörige, primäre Gruppen. Im Spezialfall, daß \({\mathfrak G}\) die additive Gruppe der rationalen Zahlen ist, liefert diese Zerlegung die \(p\)-adischen Zahlen. Die der Zerlegung einer endlichen Gruppe in zyklisch direkte Faktoren entsprechende Zerlegung von \(\tilde{\mathfrak G}\) gelingt nicht so vollständig. Im allgemeinsten Falle muß sich der Verfasser darauf beschränken, eine in \(\tilde{\mathfrak G}\) enthaltene Faktorgruppe zu zerlegen. Diese ist auch eine Erweiterung von \({\mathfrak G}\), aber nicht mehr durch \(\tilde{\mathfrak G}\) eindeutig bestimmt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Fortsetzung der Arbeit in dieser Zeitschrift20 (1924), S. 165-187.
[2] Diep-Komponenten der idealen Zahlen stimmen völlig mit den von Herrn Hensel eingeführtenp-adischen Zahlen überein. Vgl. K. Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen I (1908), 2. Kap. Eine ideale Zahl ist äquivalent zu einem System von je einerp-adischen Zahl für jede Primzahlp.
[3] Dieser Satz wird von H. Weber, Lehrbuch der Algebra,II (1896), S. 48ff., mit Hilfe der Gruppencharaktere bewiesen. Dabei ergibt sich noch, daß die Abbildung involutorisch ist, was hier nicht bewiesen ist.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.