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On the invariants of the ternary icosahedral group. (English) JFM 51.0120.01
Das vollständige System der ternären Ikosaedergruppe gab F. Klein in seinem “Ikosaeder”, ohne auf Einzelheiten einzugehen (F. d. M. 16, 61 (JFM 16.0061.*)).
Hier werden einige der wichtigeren invarianten Formen genauer diskutiert.
Die Reihen von invarianten Punkten und Geraden (\(<\) 60) schließen folgende ein:
1. von 6 Punkten \(a\) und 6 Geraden \(\alpha\), die je zu einer Diederuntergruppe \(D_{10}\) gehören ;
2. von 10 Punkten \(b\) und 10 Geraden \(\beta\) gegenüber einer \(D_6\);
3. von 15 Punkten \(c\) und 15 Geraden \(\gamma\), gegenüber einer \(D_4\).
Die Punkte und Geraden jeder Reihe sind Pole und Polaren in bezug auf den invarianten Kegelschnitt \(A\): sie bilden die selbstduale Konfiguration eines zehnfachen Pascalschen (resp. Brianchonschen) Sechsecks.
Von Wichtigkeit ist der Satz: Ist eine invariante Kurve \(r\) des Systems rational, sodaß sich deren Punkte gegenüber der ternären \(G_{60}\) vertauschen, so transformieren sich auch die Parameter der Punkte gemäß der binären Ikosaedergruppe. Wird das Ikosaeder durch die Form \( f = f_{12}\) dargestellt, und sind \(H = H_{20}\), \(J = J_{30}\) die bekannten Kovarianten von \(f\), so sind die einzigen invarianten Reihen von Punkten (Parametern) von \(r\) eben die durch \(f\), \(H\), \(J\) bestimmten.
Sodann wird ein Büschel invarianter \(c_6\) gebildet. Ist \(A \equiv x_0x_1 + x^2_2 = 0\) der Fundamentalkegelschnitt, und \(F = 0\) die Gesamtgleichung der sechs Geraden \(\alpha\), so lautet die Gleichung des Büschels: \(A^3 + \lambda F = 0\). Dieses Büschel enthält ausgezeichnete Individuen, deren Singularitäten genauer untersucht werden. Weiter werden rationale Kurven \(r_{10}\) des Systems betrachtet.
Bei Klein tritt bereits eine solche Kurve \(C\) mit vierfachen Punkten in den sechs Fundamentalpunkten \(a\) auf. Die zu \(C\) dualistische Kurve \(\Gamma\) ist eine \(r_6\), und zwar die einzige solche des Systems. Die Eigenschaften von \(C\) werden aus denen von \(\varGamma\) hergeleitet. So hat jeder vierfache Punkt von \(C\) nur zwei verschiedene Tangenten. Die sechs zugehörigen Parameterpaare sind die Wurzeln von \(f\), die sechs Tangentenpaare berühren \(A\), usf.
Eine zweite invariante \(r_{10} = C'\) gehört zur Diedergruppe \(G_{10}\); ihre Darstellung ist von der Gestalt: \[ x_0 = at^9 + bt^4, \, \, x_1 = - bt^6 + at, \, \, x_2 = t^{10} + ct^5 - 1. \]
Die 10 Geraden \(\beta\) sind Doppeltangenten von \(C'\), deren Berührungspunkte auf \(A\) liegen, und deren Parameter die Wurzeln von \(H\) sind, u. a. m. (V 5 C.)

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