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Über das allgemeine Reziprozitätsgesetz der \(l\)-ten Potenzreste im Körper \(k_\zeta\) der \(l\)-ten Einheitswurzeln und in Oberkörpern von \(k_\zeta\). (German) JFM 51.0143.05
Kummer, Hilbert, Takagi haben für den sog. Umkehrfaktor \(\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) : \left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)\) des \(l\)-ten Potenzrestsymbols (\(l\) ungerade Primzahl) im Körper der \(l\)-ten Einheitswurzeln einen expliziten Ausdruck der Form \(\zeta^{f(\alpha, \beta)}\) gegeben, wo \(f(\alpha, \beta)\) aus den sog. logarithmischen Differentialquotienten von \(\alpha\) und \(\beta\) in bestimmter Weise zusammengesetzt ist. – Dieser Ausdruck wird in eine Form \(\zeta^{g(\alpha, \beta)}\) umgerechnet, in die statt der logarithmischen Differentialquotienten die wirklichen Logarithmen für den Bereich von \(l\) von \(\alpha\) und \(\beta\) im Sinne der Henselschen Theorie der algebraischen Zahlen eingehen.

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Full Text: DOI Crelle EuDML