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Einige Sätze über ganzzahlige Lösungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen. (German) JFM 51.0152.04
Man habe eine Funktion \(y=f(x)\). Dann heißt jeder Bereich von der Form \[ y= f(x)+\varTheta\cdot\varphi(x) \] mit \(0\leqq \varTheta \leqq 1\) und \(\lim\limits_{x=\infty}\varphi(x)=0\) eine asymptotische Umgebung von \(y = f (x)\). Verf. untersucht das Verhalten der Gitterpunktsdichte in jeder asymptotischen Umgebung gewisser Kategorien von Kurven \(y=f(x)\) auf elementarem Wege und zeigt, daß die Gitterpunkte die Dichte 0 besitzen in jeder asymptotischen Umgebung solcher Kurven \(y=f(x)\), welche gewissen mit dem infinitären Verhalten der Differenzfunktionen von \(f(x)\) zusammenhängenden Bedingungen genügen. Ferner erweitert er diese Bedingungen unter Zugrundelegung einer Verschärfung des Begriffs der asymptotischen Umgebung hinsichtlich des asymptotischen Verhaltens von \(\varphi(x)\) (s. oben!); er bringt diese Resultate in Verbindung mit den Ergebnissen insbesondere von Weyl über Gleichverteilung mod 1; ferner beweist er Näheres über die Kurven der Gestalt \[ y= \sum_{\nu=0}^n a_\nu x^\nu \] und schließlich Sätze über die Endlichkeit der Lösungszahl gewisser Gleichungen \(y = f(x)\) in ganzen \(x\) und \(y\).

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