×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zwei Bemerkungen zu einer Arbeit des Herrn Perron. (German) JFM 51.0157.02
Verf. nennt die Form mit reellen Koeffizienten \(\vartheta_1,\ldots, \vartheta_n\) \[ \vartheta_1x_1+\vartheta_2x_2+\cdots + \vartheta_nx_n+x_{n+1} \tag{1} \] extrem, wenn die untere Grenze von \[ |\vartheta_1a_1+ \cdots + \vartheta_na_n+a_{n+1}|\cdot \operatorname{Max}(|a_1|^n, \ldots, |a_n|^n) \] für alle Systeme ganzer nicht sämtlich verschwindender Zahlen \(a_1,\ldots, a_{n+1}\) positiv ist. Ebenso heißt das Zahlensystem \[ \vartheta_1, \vartheta_2,\ldots, \vartheta_n \tag{2} \] extrem, wenn die untere Grenze von \[ \sum_{k=1}^n\left|\vartheta_k-\frac {p_k}{q}\right|q\root{n}\of{q} \] für alle Systeme ganzer Zahlen \(p_1,\ldots, p_n\), \(q\) mit \(q>0\) positiv ist.
In einer Arbeit des Ref. [Math. Ann. 83, 77–84 (1921; JFM 48.0194.01)] ist implizit der Satz enthalten, daß, wenn die Form (1) extrem ist, dann auch das Zahlensystem (2) extrem ist. Verf. beweist hier die schwierigere Umkehrung. Die zweite Bemerkung bezieht sich auf den vom Ref. a. a. O. bewiesenen Satz, daß, wenn \(\vartheta\) eine algebraische Zahl vom Grade \(n +1\) ist, die \(n\) Zahlen \(\vartheta\), \(\vartheta^2\), …, \(\vartheta^n\) ein extremes System bilden. Diese für den algebraischen Charakter einer Zahl notwendige Eigenschaft ist nicht hinreichend; aber Verf. zeigt, daß die gleiche Eigenschaft nur verhältnismäßig wenig transzendenten Zahlen zukommt, nämlich nur einer Menge vom Maß Null, während die in den Liouville-Thue-Siegelschen Kriterien ausgedrückte Eigenschaft der algebraischen Zahlen auch von fast allen (im Lebesgueschen Sinn) transzendenten Zahlen geteilt wird.

MSC:
11J99 Diophantine approximation, transcendental number theory
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Math. Annalen83 (1921), S. 77-84.
[2] Vgl. S. 79.
[3] Journal für die reine und angew. Mathematik135 (1909).
[4] Math. Zeitschrift10 (1921).
[5] Auch nicht der tieferliegende Satz von Siegel, Math. Annalen83 (1921), S. 80.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.