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Über die arithmetischen Eigenschaften gewisser Reihen. (German) JFM 51.0161.03
Avhandlinger Oslo 1925, No. 1, 17 S. (1925).
Im Anschluß an C. L. Siegel (F. d. M. 48, 164 (JFM 48.0164.*)-165) wird über unendliche Reihen mit rationalen Gliedern \(a_i=\dfrac {p_i}{q_i}\) (\(q_i> 0\)) bewiesen :
1. Ist \[ \begin{aligned} &\lim_{i=\infty}\frac {\log|a_i|}{\log|a_{i+1}|}=\frac 1N,\\ &\lim_{i=\infty}\frac {\log|p_i|}{\log q_i}=k< 1, \end{aligned} \] so ist die Summe transzendent oder algebraisch vom Grade \(\geqq \dfrac{(N - 1)^2(1-k)^2}4\).
2. Ist \[ \begin{aligned} \lim_{i=\infty}&\frac {\log|a_i|}{\log|a_{i+1}|}=0,\\ &\frac {\log|p_i|}{\log q_i}\leqq k< 1, \end{aligned} \] so ist die Summe transzendent.
3. Ein ähnlicher Satz für Reihen mit algebraischen Gliedern.
4. Eine Anwendung auf Potenzreihen mit rationalen Koeffizienten.