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Mehrfach monotone Zahlenfolgen. (German) JFM 51.0178.02
In der Theorie der unendlichen Reihen steht neben der Untersuchung der Reihen mit beliebigen positiven Gliedern unvermittelt diejenige der Reihen mit positiven (einfach-)monoton abnehmenden Gliedern. So ist z. B. bei jenen \(a_n \to 0\), bei diesen dagegen \(na_n \to 0\) eine notwendige Konvergenzbindung. Durch E. Jacobsthal und K. Knopp wurde (F. d. M. 47, 201 (JFM 47.0201.*) der Begriff der \(p\)-fachen Monotonie eingeführt. Nachdem inzwischen von S. Chapman und A. F. Andersen (s. F. d. M. 48, 225-226) für eine Zahlenfolge \((x_n)\) die Differenzen \(\varDelta^\alpha x_n\) einer nicht ganzzahligen Ordnung \(\alpha\) eingeführt worden sind, lag es nahe, auch eine Monotonie von nicht ganzzahliger Ordnung einzuführen. Definition: Die positive Nullfolge \((x_n)\) soll \(\alpha\)-fach monoton heißen, wenn ihre \(\alpha\)-ten Differenzen \[ \varDelta^\alpha x_n=\sum_{\nu=0}^\infty \binom{\nu-\alpha-1}{\nu} x_{n+\nu} \] existieren und \(\geqq 0\) sind für \(n = 0\), 1, 2, \(\ldots\).
Es gilt der Satz: Ist die Folge \(\alpha\)-fach monoton mit \(\alpha > 0\), so ist sie auch \(\beta\)-fach monoton, falls \(0 \leqq \beta\leqq \alpha\). – Hieraus ergibt sich in bekannter Weise ein Index der Monotonie für jede positive Nullfolge.
Im §2 werden Anwendungen dieser Begriffe auf die Untersuchung von unendlichen Reihen gegeben. Als prägnantestes Resultat, das die eingangs erwähnten klassischen Tatsachen sozusagen miteinander verbindet, ergibt sich: Ist \(a_n\geqq 0\), \(\sum a_n\) konvergent, \((a_n)\) eine \(\alpha\)-fach monotone Folge und \(0\leqq\alpha\leqq1\), so strebt \(n^\alpha a_n\to 0\).
An diese Note schließen zwei spätere Arbeiten von Th. Kaluza und Ferrar (F. d. M. 53, 183-184) an.

MSC:
40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] E. Jacobsthal,Mittelwertbildung und Reihentransformation, Mathematische Zeitschrift6 (1920), S. 100-117. · JFM 47.0201.02 · doi:10.1007/BF01202995
[2] K. Knopp,Mittelwertbildung und Reihentransformation,, S. 118-123. · JFM 47.0202.01 · doi:10.1007/BF01202996
[3] S. Chapman,On non integral orders of summability of series and integrals, Proceedings of the London Mathematical Society (2)9 (1910), S. 369-409. · JFM 42.0270.02 · doi:10.1112/plms/s2-9.1.369
[4] A. F. Andersen, Studier over Cesàro’s Summabilitetsmetode, Kopenhagen 1921. · JFM 48.0225.01
[5] Aus dem allgemeinen Satz von F. A. Andersen (s. Einleitung) ist das nicht zu entnehmen.
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