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Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont l’aire est finie. (French) JFM 51.0199.03
Die reelle Funktion \(y = f(x)\) sei in einem Intervall \(J = (a, b)\) definiert. Für jede Menge \(E\) bezeichne \(E_y\) die Menge der Funktionswerte von \(f\) in \(E\), \(E_x\) die Menge der in \(J\) gelegenen Originalpunkte von \(E\) bei der Abbildung \(f\); ferner sei \(N(t)\) die (evtl. unendliche) Anzahl der Originalpunkte eines Punktes \(t\).
Ist \(f(x)\) stetig, so gehört \(N(t)\) höchstens zur zweiten Baireschen Klasse. Ist \(f(x)\) von beschränkter Variation, so ist \(N(t)\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar, und umgekehrt; es gilt dann \[ f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} N(t)\,dt. \] Die Menge der Punkte \(t\), für die \(t = f(x)\) unendlich viele Lösungen hat, ist also vom Maße Null.
Notwendig und hinreichend dafür, daß eine stetige Funktion von beschränkter Schwankung absolut stetig sei, ist, daß aus \(|E| = 0\) (\(|E|\) bezeichnet das Maß von \(E\)) \(|E_y| = 0\) folgt. (Vgl. auch das folgende Referat JFM 51.0200.01.)
In § 2 der Arbeit überträgt Verf. die Begriffe der beschränkten Variation, der totalen Variation und der absoluten Stetigkeit auf Funktionenpaare von zwei Veränderlichen und formuliert einige Sätze, die den obigen entsprechende Fragestellungen für den vorliegenden Fall behandeln.
Im letzten Paragraphen werden Bedingungen für die Rektifizierbarkeit eines einfachen Bogens und die Existenz des Inhalts eines Flächenstückes aufgestellt: \[ \begin{aligned} x = f(u) & \\ & \qquad 0\leqq u \leqq 1 \\ y = \varphi(u) & \end{aligned} \] stelle einen einfachen Bogen \(l\) in der \(xy\)-Ebene dar. Dann und nur dann ist der Bogen \(l\) rektifizierbar, wenn die Funktionen \(N_x(t,l)\) und \(N_y(t,l)\), die die Anzahl der Schnittpunkte der Geraden \(x=t\) bzw. \(y=t\) mit \(l\) bezeichnen, im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind.
Analog gilt für ein Flächenstück S, das als eineindeutiges stetiges Bild eines Quadrates durch \[ \begin{aligned} x = f(u,v) & \\ & \qquad 0\leqq u \leqq 1 \\ y = \varphi(u,v) & \\ & \qquad 0\leqq v \leqq 1 \\ z = \psi(u,v) & \end{aligned} \] definiert ist: Dann und nur dann hat \(S\) einen endlichen Inhalt, wenn die Funktionen \(N_{xy}(s,t,S)\), \(N_{xz}(s,t,S)\) und \(N_{yz}(s,t,S)\) (die Anzahlen der Schnittpunkte der Parallelen zu den Koordinatenachsen mit der Fläche \(S\)) im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind.

MSC:
28Axx Classical measure theory
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