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Un nouveau procédé d’intégration de fonctions mesurables non sommables. (French) JFM 51.0202.01

\(f(x)\) sei in \((a,b)\) meßbar und fast überall endlich. Ist \[ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_i < \cdots < x_k = b;\;\delta({\mathfrak Z}) = \text{Max }(x_i -x_{i-1}) \] eine Zerlegung \({\mathfrak Z}\) von \((a,b)\) der Maximallänge \(\delta({\mathfrak Z})\); so werde für \(0 < \lambda < 1\) \[ s({\mathfrak Z};\lambda) = \sum_{i=1}^k m(x_{i-1}, x_i;\lambda)(x_i-x_{i-1});\quad S({\mathfrak Z};\lambda) = \sum_{i=1}^k M(x_{i-1}, x_i;\lambda)(x_i-x_{i-1}) \] gesetzt (verge. vorstehendes Referat). Für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge \({\mathfrak Z}_n\) (mit \(\delta({\mathfrak Z}_n)\to 0\)) existieren dann die nur von \(f(x)\) abhängenden Limites \[ s(\lambda)= \lim\limits_{n\to\infty}s({\mathfrak Z}_n;\lambda);\quad S(\lambda)= \lim\limits_{n\to\infty}S({\mathfrak Z}_n;\lambda). \] Für \(0 < \lambda < \frac{1}{2}\) ist \(s(\lambda) \leqq S(\lambda)\). Nimmt \(\lambda\) gegen 0 ab, so wächst \(s(\lambda)\) nicht und \(S(\lambda)\) fällt nicht. \[ \underline{I} (A) =\int_{\underline a}^b f(x)\, dx= \lim\limits_{\lambda\to 0} s(\lambda); \;\overline{I} (A) =\int_{a}^{\overline b} f(x)\, dx= \lim\limits_{\lambda\to 0} S(\lambda) \] definieren das untere bzw. obere “asymptotische” Integral von \(f(x)\) in \((a, b)\). Stets ist \(\underline{I} \leqq\overline{I}\), und im Falle der Gleichheit heißt der gemeinsame Wert \[ I=(A)\int_a^b f(x)\, dx \] das asymptotische Integral von \(f(x)\) in \((a,b)\).
Ist \(f(x)\) summierbar, so ist es auch asymptotisch integrierbar, und \(I\) stimmt mit dem Lebesgueschen Integral überein. Dagegen gibt es \(f(x)\), die nicht summierbar aber asymptotisch integrierbar sind.
Das unbestimmte asymptotische Integral von \(f(x)\) besitzt fast überall die Ableitung \(f(x)\).
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Full Text: Gallica