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Einige Sätze über Fourierreihen fastperiodischer Funktionen. (German) JFM 51.0215.01
In der Bohrschen Theorie der fastperiodischen Funktionen braucht die Fourierreihe \(\Sigma A_ne^{i\Lambda _{n^x}}\) einer fastperiodischen Funktion \(f(x)\) nicht zu konvergieren; sie konvergiert im allgemeinen nur im Mittel gegen \(f(x)\). Wenn aber die Fourierexponenten \(\Lambda _n\) linear unabhängig sind, ließ sich zeigen, daß \(\Sigma |A_n|\) konvergiert, die Fourierreihe von \(f(x)\) also absolut konvergiert.
Dieser Satz, der bei der ersten Darstellung der Theorie (1924; F. d. M. 50,196-198) unter Benutzung des berühmten Kroneckerschen Approximationssatzes aus dem Fundamentalsatz der Theorie (d. h. dem Analogon zum Parsevalschen Theorem) hergeleitet wurde, wird jetzt bewiesen, ohne den Approximationssatz selbst heranzuziehen. Die Methode dieses neuen Beweises läßt sich dann auch zur Behandlung anderer Probleme der Theorie ausbauen. So wird mit ihr noch der Satz bewiesen: Sind die Fourierkoeffizienten \(A_n\) einer fastperiodischen Funktion \(f(x)\) alle reell und positiv, so ist \(\Sigma A_n\) konvergent. (IV 3 D.)

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I, Acta Mathematica45 (1924), S. 29-127.
[2] Another Proof of Kroneckers Theorem, Proceedings London Math. Soc. (III)21 (1923), S. 315-316.
[3] In ähnlicher Weise sind in einer soeben erschienenen gemeinsamen Arbeit von Herrn Landau und dem Verfasser (Nachtrag zu unseren Abhandlungen aus den Jahrgängen 1910 und 1923, Göttinger Nachr. 1924) die bekannten Abschätzungen für die Riemannsche Zetafunktion: ? (8) ? 0 (1) und 1/? (8) ? 0 (1) für ?>1, ohne direkte Heranziehung von Sätzen über diophantische Approximationen abgeleitet.
[4] Vgl. § 5 der in Note 1 zitierten Abhandlung, wo gezeigt wird, daß der Multiplikationssatz mit dem Fundamentalsatz inhaltlich ganz äquivalent ist.
[5] Vgl. Satz 1 der in Note 1 zitierten Abhandlung.
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