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Contribution à l’unicité du développement trigonométrique. (French) JFM 51.0219.03

Eine in (\(0,2\pi )\) gelegene Punktmenge \(E\) soll eine Eindeutigkeitsmenge, kurz eine Menge \(U\) heißen, wenn in jeder trigonometrischen Reihe \(\displaystyle \frac {a}{2}+\sum _1^{\infty } (a_n\cos nx + b_n\sin nx)\) mit \(a_n\to 0\) und \(b_n\to 0\), die überall außerhalb \(E\) zur Summe \(0\) konvergiert, alle Koeffizienten verschwinden. Der Begriff dieser Mengen \(U\), mit denen sich schon viele befaßt haben (vgl. F. d. M. 49, 198 (JFM 49.0198.*)), wird hier folgendermaßen modifiziert: Ist \((\varepsilon _n)\) eine positive monotone Nullfolge – kurz: eine Folge \((S)\) –, so heiße die Menge \(E\) eine Eindeutigkeitsmenge bezüglich \((S)\), kurz eine Menge \(U(S)\), wenn in jeder trigonometrischen Reihe, bei der \(\sqrt {a_n^2+b_n^2}\leqq \varepsilon _n\) ist (\(n = 1, 2,\ldots \)) und die überall außerhalb \(E\) zur Summe \(0\) konvergiert, alle Koeffizienten verschwinden.
Während nun die Mengen \(U\) notwendig Nullmengen sind, ergibt sich für die Mengen \(U(S)\) der paradoxe Satz: Zu jeder Folge \((S)\) lassen sich Mengen \(U(S)\) konstruieren, deren Maß beliebig nahe an \(2\pi \) liegt.
Die Frage, ob sich die Menge \(U(S)\) auch so konstruieren läßt, daß ihr Maß gleich \(2\pi \) ist, bleibt unentschieden.

Citations:

JFM 49.0198.*
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Full Text: DOI EuDML