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Three theorems on normal orthogonal sets. (English) JFM 51.0226.01
Seien \(\varphi _n(s)\), \(\psi _n(s)\) zwei Systeme normierter Orthogonalfunktionen, die nebst ihrem Quadrat im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind. Dann und nur dann, wenn die formale Reihe jeder Funktion \(\psi _n(s)\) nach den Funktionen \(\varphi _n(s)\) im Mittel gegen \(\psi _n(s)\) konvergiert, haben 1) je zwei Funktionen, die bezüglich der \(\varphi _n(s)\) die nämlichen Fourierkoeffizienten haben, auch bezüglich der \(\psi _n(s)\) die nämlichen Fourierkoeffizienten, konvergieren 2) die Fourierreihen \(\Sigma \,a_n\varphi _n(s)\) und \(\Sigma \,b_n\psi _n(s)\) einer und derselben willkürlichen Funktion \(f\) im Mittel gegen diese, und konvergiert 3) die Differenz \(\Sigma \,a_n\varphi _n(s)\) – \(\Sigma \,b_n\psi _n(s)\) im Mittel gegen \(0\). Aus 2) folgt der von G. Lauricella (1912; F. d. M. 43, 428 (JFM 43.0428.*)) aufgestellte Satz: ein normiertes Orthogonalsystem \(\varphi _n(s)\) ist dann und nur dann abgeschlossen, wenn die Fourierreihe jeder Funktion irgend eines vollständigen Orthogonalsystems \(\psi _n(s)\) nach den \(\varphi _n(s)\) im Mittel gegen diese Funktion konvergiert. Alles dies wird mit Hilfe des Fischer-Rieszschen Satzes leicht aus den einfachen entsprechenden Tatsachen bei unendlichvielen Veränderlichen abgeleitet.
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