×

Séries analytiques. Sommabilité. (French) JFM 51.0242.06

IV + 53 p. Paris, Gauthier-Villars. (Mémorial des sciences mathematiques, fasc. 7.) (1925).
Es handelt sich um analytische Fortsetzung durch Limitierung der Abschnitte der Taylorschen Reihe außerhalb ihres Konvergenzkreises, ein Problem, mit dem sich namentlich E. Borel, J. Hadamard, G. Mittag-Leff1er und P. Painlevé beschäftigt haben. Insbesondere werden meromorphe Funktionen behandelt und weiterhin solche, die bis auf isolierte Singularitäten in der ganzen Ebene regulär und eindeutig sind.
Das 1. Kapitel behandelt den folgenden Grundgedanken: \(F (x)\) sei eine Funktion der eben genannten Art, \(s_n(x)\) seien die Abschnitte ihrer Taylorentwicklung bei \(x = 0\); \[ f (\xi) = \gamma_1 \xi + \gamma_2 \xi^2 + \dots = c_1 + c_2 + \dots \] sei eine ganze Funktion von \(\xi\) (die Summierungsfunktion, ”fonction sommatrice“). Mittels einer Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel wird dann zunächst folgende Darstellung von \(F (x)\) gewonnen: \[ F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{c_{n+1}s_n}{f(\xi)} + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f\left( \tfrac{\xi x}{z} \right)}{f(\xi)} \frac{F(z)}{z-x}\, dz, \tag{1} \] wobei \(C\) eine beliebige, in bezug auf \(z = 0\) sternförmige Kurve ist, die die Singularitäten von \(F (x)\) ausschließt, und (1) gilt für jedes \(x\) im Innern von \(C\). Es handelt sich nun darum, das letzte Glied zum Verschwinden zu bringen durch einen Grenzübergang \(\xi \to \infty\) auf passendem Wege. Das führt zu der Forderung \[ \lim_{\xi \to \infty} \frac{f \left(\tfrac{\xi x}z \right)}{f(\xi)} = 0, \tag{2} \] die durch geeignete Wahl von \(f(\xi)\) für einen möglichst großen Bereich von \(x\) zu erfüllen ist.
Im 2. Kapitel werden speziell meromorphe \(F (x)\) behandelt, deren Pole zunächst als einfach angenommen werden; für sie wird unabhängig von den vorigen Ausführungen eine der Formel (1) entsprechende abgeleitet. Als Summierungsfunktionen werden bekannte ganze transzendente Funktionen gewählt, z. B. \(e^\xi\) (Borelsches Verfahren), \(e^{\xi}\); ferner die \(\sigma\)-Funktion, bei deren Verwendung das Verschwinden des zweiten Gliedes von (1) unter Ausnützung ihrer Nullstellen erreicht wird. In den erstgenannten Fällen erhält man als Bereich der Summierbarkeit, d. h. als Gültigkeitsbereich der Formel \[ F(x) = \lim_{\xi \to \infty} \sum_{n=1}^\infty \frac{c_{n+1} s_n}{f(\xi)} \tag{3} \] einen gewissen in bezug auf \(x = 0\) sternförmigen Bereich, der die Pole von \(F (x)\) auf dem Rande enthält, jedoch noch nicht den Hauptstern (das ist die von den Polen nach Unendlich radial aufgeschlitzte Ebene). Bei Verwendung von \(\sigma (\xi)\) erweist sich (2) (in dem \(\xi\) in gewisser Weise diskontinuierlich gegen \(\infty\) geht) als gültig für rationale \(x\). – Die Beschränkung auf einfache Pole wird schließlich fallen gelassen.
Das 3. Kapitel ist der Konstruktion gewisser spezieller Summierungsfunktionen gewidmet. Um die Forderung (2) für einen möglichst weiten Bereich von \(x\) zu erfüllen, wird man auf die Aufgabe geführt, Funktionen \(f (\xi)\) zu bilden, die nur auf solchen Nullpunktsstrahlen mit \(\xi \to \infty\) gegen Unendlich streben, die einen möglichst engen Winkel erfüllen. Es lassen sich sogar Funktionen bilden, die nur längs der reellpositiven Achse gegen Unendlich gehen, und selbst solche, die längs aller Nullpunkts-Strahlen mit \(\xi \to \infty\) gegen Null gehen.
Im 4. Kapitel werden diese Funktionen für das Ausgangsproblem verwertet. Mit ihrer Hilfe läßt sich der Bereich der Summierbarkeit leicht auf den Hauptstern ausdehnen; ja der letztgenannte Typus der Summierungsfunktion erlaubt es (unter Zugrundelegung einer gewissen Verallgemeinerung von (1)) für meromorphe und noch etwas allgemeinere Funktionen in der ganzen Ebene gültige Summierungsformeln aufzustellen.
Die Entwicklungen sind in mancher Richtung etwas allgemeiner als hier angedeutet. – Am Schluß steht ein Literaturverzeichnis.
Besprechungen: H. Fehr, Enseignement 25 (1926), 154; C. N. Moore, Bulletin A. M. S. 33 (1927), 340. (IV 2.)
Full Text: EuDML