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Mathematische Miszellen. III: Über Nullstellen gewisser im Einheitskreis regulärer Funktionen und einige Sätze zur Konvergenz unendlicher Reihen. (German) JFM 51.0246.05
Den Blaschkeschen Satz (1915; F. d. M. 45, 638) hatte Landau (1918; F. d. M. 46, 517) aus der Jensenschen Formel hergeleitet. Darüber hinaus hatte Verf. (1923; F. d. M. 49, 713) bewiesen: Das Produkt der absoluten Beträge der von \(0\) verschiedenen Nullstellen \(z_k\) einer in \(|z| < 1\) regulären Funktion \(f(z)\) ist dann und nur dann konvergent, wenn die Mittelwerte \[ \mathfrak M_\varrho(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(\varrho e^{i\vartheta})|\,d\vartheta \] in \(0<\varrho<1\) beschränkt bleiben.
Wegen der Jensenschen Formel \(\mathfrak M_\varrho(f)=\log\prod\frac{\varrho}{|z_k|}\), \(|z_k|\leqq\varrho\), folgt dies unmittelbar aus dem folgenden Satz über Reihen mit positiven Gliedern: Eine Reihe \(\sum a_k\) mit positiven monoton zu \(0\) abnehmenden Gliedern \(a_k\) und den Teilsummen \(s_k\), konvergiert dann und nur dann, wenn \(\lim (s_n - na_n)\) existiert. Dieser ist dann gleich der Summe der Reihe. — Dieser Satz wird zu dem folgenden verallgemeinert:
Ist \(\sum a_k\) eine Reihe mit beliebigen positiven Gliedern, \((\mu_k)\) eine Folge positiver Zahlen und nimmt \(a_k/\mu_k\) monoton gegen \(0\) ab, so ist \(\sum a_k\) dann und nur dann konvergent, wenn \[ \lim\left(s_n-\frac{\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n}{\mu_n}a_n\right) \] existiert. Er ist dann gleich der Summe der Reihe.
Endlich wird der Satz auf Integrale übertragen und die Frage aufgeworfen, inwieweit er der schärfste Satz seiner Art ist. Vgl. hierzu K. Knopp, Jahresbericht D. M. V. 37 (1928), 325-327; F. d. M. 54, 225. (IV 2, IV 3 B.)
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Full Text: EuDML