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Sur la formule d’interpolation de Lagrange. (French) JFM 51.0250.02
Verf. beschäftigt sich mit den ganzen Funktionen \(g (z)\), die an gegebenen Stellen \(a_n\to\infty\) gegebene Werte annehmen. Dies Interpolationsproblem ist durch Wachstumsbedingungen für \(g (z)\) im allgemeinen nicht zu einem bestimmten zu machen. Wohl aber gilt ein schöner Satz von Carlson (1914; F. d. M. 45, 645) (vgl. auch Wigert 1916; F. d. M. 46, 505), den Valiron neu findet. Verf. untersucht dann die Fragen der Darstellbarkeit einer ganzen Funktion durch die Lagrangesche Interpolationsformel vom Typus \(\mu\): \[ g(z)=F(z)\left[\sum\frac{g(a_n)z^\mu}{a_n^\mu F'(a_n)(z-a_n)}+P_{\mu-1}(z)\right]. \] Hier ist \(F (z)\) die Basisfunktion, eine ganze Funktion mit den Nullstellen \(a_n\), \(\mu\) eine ganze Zahl und so gewählt, daß die Summe absolut für alle \(z\neq a_n\) konvergiert, \(P_{\mu-1}\) ein Polynom von Grad \(\mu - 1\). Die \(a_n\) seien reell. Für ein solches \(g (z)\) ist notwendig \[ |g(z)|<o(1)\frac{r^\mu}{|\sin \varphi|}|F(z)|,\;z=re^{i\varphi}. \] Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt und konvergiert \[ \sum\left|\frac{g(a_n)}{a_n^{\mu+1}F'(a_n)}\right|, \] so ist \(g (z)\) durch eine Formel vom Typus \(\mu\) darstellbar. Im besonderen ergibt sich für \(F(z)\equiv\sin \pi z\): Eine ganze Funktion \(g (z)\) ist dann und nur dann durch die Lagrangesche Formel darstellbar, wenn \(\sum\left|\frac{g(n)}{n^{\mu+1}}\right|\) konvergiert und wenn \(\frac{g(z)}{|z|^\mu e^{\pi|z|}}\) für \(r\to\infty\) gleichmäßig gegen Null strebt.
Als Anwendung ergibt sich z. B: Für eine ganze Funktion \(f (z)\) vom Geschlecht \(0\) divergiert \(\sum\frac{f(n)}{n^\nu}\) für jedes \(\nu\). Ferner: Eine ganze Funktion \(f (z)\), für die \(\frac{zf(z)}{e^{\pi|z|}}\to 0\) strebt gleichmäßig für \(r\to\infty\), ist vollkommen bestimmt durch Angabe ihres Wertes an mindestens einer Stelle aus jedem Intervall \((n, n+1)\).

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