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Sur un théorème de M. Wiman dans la théorie des fonctions entières. (French) JFM 51.0251.01

Der in Rede stehende Wimansche Satz (1903; F. d. M. 34, 452-455) lautet: Ist \(F(z)\) eine kanonische ganze Funktion einer positiven Ordnung \(\varrho<\frac 12\) und \(\varepsilon >0\) beliebig gegeben, so gibt es unendlich viele Kreisperipherien um \(0\), darunter solche mit beliebig großem Radius, sodaß für jedes \(z\) dieser Peripherien \(|F(z)|>e^{|z|^{\varrho-\varepsilon}}\) ist. (\(F(z)\) bleibt also insbesondere auf keinem von \(0\) ausgehenden Radius beschränkt.) Dieser Satz war zunächst unter Benutzung der Phragmèn-Lindelöfschen Sätze bewiesen worden. Erst 1911 gab Wiener (Diss. Göttingen; F. d. M. 42, 416) einen Beweis mit Hilfe elementarer Abschätzungen. In der vorliegenden Arbeit wird ein erheblich kürzerer Beweis dieser Art gegeben. Er führt überdies zu der folgenden Verschärfung: Wird noch ein \(\eta > 0\) gegeben, so gibt es unendlich viele Kreisringe von einer Dicke \(>r^{1-\varrho-\eta}\) (\(r\) = Radius des äußeren Kreisrandes), darunter solche mit beliebig großem \(r\), so daß die genannte Ungleichung für jedes \(z\) jedes Ringes gilt.

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References:

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