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Sur la distribution des valeurs des fonctions méromorphes. (French) JFM 51.0256.01

Verf. knüpft an die R. Nevanlinnasche Theorie der meromorphen Funktionen an (vgl. vorstehendes Referat). In dieser Theorie ist \(n(r, f-a)\) die Anzahl der Stellen in \(|z|< r\), in denen \(f(z)=a\) wird. Es ist weiter \[ N(r,f-a)=\int_0^r[n(t,f-a)-n(0,f-a)]\frac{dt}t+n(0,f-a)\log r, \] \(m(r,f)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} \operatornamewithlimits{log}^+|f(re^{iu})|du\), wo \(\operatornamewithlimits{log}\limits^+ t = \log t\), wenn \(\log t\geqq 0\), aber \(\operatornamewithlimits{log}\limits^+ t= 0\), wenn \(\log t\leqq 0\) ist. Endlich \(T(r,f- a) = m\left(r,\dfrac1{f-a}\right)+N(r,f-a)\); und \(T(r)=T\left(r,\dfrac 1f\right)\). Setzt man \(\varrho =\limsup\limits_{r\to\infty}\dfrac{\log T(r)}{\log r}\), so heißt \(\varrho\) die Ordnung der meromorphen Funktion. Verf. beweist nun: Ist \(\varrho\) endlich, so ist \[ \lim_{r\to\infty}\frac{N(r,f-a)}{T(r)}=1 \] gleichmäßig in \(a\), sobald man \(a\) auf eine Kreisscheibe \(|a|\leqq R\) beschränkt und aus ihr gewisse Kreisscheiben beliebig kleiner Gesamtradiensumme herausgenommen hat. Bei Funktionen unendlicher Ordnung muß \(r\) unter Auslassung gewisser Ausnahmestrecken endlicher Gesamtlänge gegen \(\infty\) gehen. Dann bleibt die Aussage richtig. Als Anwendung ergibt sich z. B., daß \(f(z)\) und \(f'(z)\) die gleiche Ordnung haben. Ein analoger Satz wird für die in einer Kreisscheibe meromorphen Funktionen bewiesen. Bei Funktionen einer Ordnung \(>\frac12\) ergeben sich weiter Sätze über die Verteilung der \(a\)-Stellen in Winkelräumen. Auch fließt aus den Betrachtungen ein Beweis des Schottkyschen Satzes.

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References:

[1] t. 177, p. 740.
[2] Comptes Rendus, 1924, t. 178, p. 367 et t. 179, p. 24.
[3] Comptes Rendus, 1924, t. 179, p. 955.
[4] On écriran(r;a) lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité à craindre,n(r, f) lorsqu’il sera nécessaire de bien spécifier la fonction dont on s’occupe; même remarque pour la définition (i) donnée plus bas.
[5] Annales de l’Ecole normale, 1922
[6] Pour la définition de M. Borel, voir sesLeçons sur les fonctions méromorphes.
[7] Jentends par ensemble de mesurelinéaire nulle dans un plan un ensemble dont les points peuvent être enfermés dans une suite de circonférences dont la somme desrayons est arbitrairement petite.
[8] M. R. Nevalinna a bien voulu me communiquer les épreuves de ce mémoireZur Theorie der memomorphen Funktionen qui a paru pendant l’impression du travail présent dans le tome 46 desActa mathematica. Je tiens à le remercier ici de son amabilité.
[9] Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. 43 et 44.
[10] Cette inégalité est une conséquence immédiate de celle qui est utilisée habituellement et quémploie M. Nevanlinna (R. N. 57).
[11] Annales de l’Ecole normale, 1922.
[12] Pourq=1 on obtient une fonction d’ordre nul pour laquellem(r,f) est asymptotiquement égale à log (M(r). VoirLectures on the general theory of integral functions Deighton, Bell and Co, Cambridge, p. 46.
[13] Voir mon mémoireRemarques sur le théorème de M. Picard, Bull. sc. math. 1920 et le mémoire de M. NevanlinnaUber den Picard-Borelschen Satz in der Theorie der ganzen Funktionen, Annales Academiae sc. Fennicae, 1924.
[14] Les résultats de M. Julia s’appliquaient aux fonctions méromorphes possédant une valeur asymptotique (voir sesLeçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé); dans deux notes duBulletin des sciences math. (une de mars 1925, et l’autre non encore parue) j’avais indiqué que sa méthode s’applique dans des cas plus généraux. Dans un important mémoireÜber Folgen analytischer Funktionen und einige Verschärfungen des Picardschen Satzes qui doit paraitre incessamment dans lesMathematische Zeitschrift, M.A. Ostrowski montre notamment que les ensemblesE {\(\sigma\)} de M. Julia existent pour toutes les fonctions méromorphes sauf pour certaines fonctions d’ordre nul.
[15] Voir le mémoire desAnnales Ec. norm. déja cité.
[16] La méthode même de M. Nevanlinna conduit à une inégalité avec des coefficients numériques inférieurs; voirBeweis des Picard-Landauschen Satzes, Göttinger Nachrichten, 1924.
[17] Cette méthode donne le passage de l’égalité de Jensen à la formule de Jensen-Poisson qui sert de base à la méthode de M. Nevanlinna. M. Bloch a obtenu, d’une manière indépendante, une démonstration du théorème de M. Schottky un peu différente de celle-ci.
[18] Über den Picard’schen Satz (Viertelj. der naturf. Gesellschaft in Zürich, 1906).
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